Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
(cosφ + i sinφ)
и число
[cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π)]
отличаются только начертанием, а геометрически это одно и то же.
- Конечно, - отвечал Илюша.
- Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:
I) cosφ + i sinφ,
II) cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π),
и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:
I) cos90° + i sin90°,
II) cos450° + i sin450°.
Прибавлять еще по 2π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом в двести двадцать пять градусов.
- 404 -
Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.
Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение
х5 - 1 = 0
или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x3 - 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.
Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!
Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.
- Трудно понять! - сказал со вздохом Илюша.
- Не так уж трудно, - отвечал Мнимий Радиксовнч. - Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:
φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,
то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:
I) cos0° + i sin0° (φ = 0°)
II) cos2/5π + i sin2/5π (φ = 144°)
III) cos4/5π + i sin4/5π (φ = 288°)
IV) cos6/5π + i sin6/5π (φ = 432°)
V) cos8/5π + i sin8/5π (φ = 576°)
- 405 -
Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.
Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.
- Теперь проведем прямые! - сказал Мнимий.
Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!
- Кстати, - добавил с мягкой улыбкой Мнимий, - заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!
- Вон как! Это, значит, важное дело?
- А как вы думаете! - рассмеялся Мнимий. - Однако, - произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. - Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!
Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение "Круг № 1" стал "кругом № 2".
Круг № 1
- Это, - пояснил Радикс, - тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент - восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.
- Совершенно справедливо! - отвечал Мнимий. - Преобразования подобия - это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?
- Ну да, помню, - отвечал Илюша. - А что?
- Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?
Круг № 2
- Как так?
- 406 -
- Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель-превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.
- Вот как?.. - задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. - А если наоборот, из мыши сделать льва?
- Вон чего захотели! - засмеялся Мнимий. - Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она... сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие - вещь совсем не простая. .. Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.
Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.
- Позвольте, - воскликнул Илюша, - да ведь это наша Красная Звезда!
- Она же и Золотая, - улыбаясь, ответил Мнимий.
- Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?
- Для этого, - ответил Мнимий, - у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.
Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.
- Если мы возьмем одну из прямых, - начал Мнимий, - составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA,FE, КЕ, ID, 1С, ... , и все они равны у. Совершенно так же FG, KI, III... равны z.
- 407 -
Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?
- Ясно, - отвечал Илюша.
- Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А. Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA. Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам.
Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол /1 в треугольнике GAF, равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему.
Сторона BF равна (z + у), а следовательно, сторона АВ тоже равна (z + y), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника.
Теперь возьмем третий треугольник - ABD. Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2y+z), основание равно (у + z). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции:
(y + z) / ( 2у + z) = y / (y + z) = z / у
Пусть каждое из этих отношений равно х. Все ясно?
- Да, - ответил Илюша. - Треугольники подобны, а как получаются пропорции, я понял. Везде взято отношение основания к боковой стороне. Так как треугольники подобны, то отношение это во всех случаях одно и то же.
- Если мы теперь посмотрим на прямую BF, которая равна (у + z), то заметим, что точка G делит этот отрезок так, что весь отрезок относится к большей своей части, как относится большая часть к меньшей. Это деление и называется со времен глубокой древности золотым сечением.
- Ах, так вот почему вы ее называете Златоиссечснной! - вскричал Илюша.
- Именно поэтому! Но если у вас хватит терпения, то я могу вам еще рассказать насчет этой звезды немало интересного. Ибо это еще не все.
- 408 -
- Рассказывайте, - попросил Илюша. - Ведь сколько раз я ее видел, и даже в голову не пришло, что наша Красная Звезда такая знаменитая в геометрическом мире.
- Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что если мы соединим концы одной из сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окружности. Боковые стороны равны радиусу описанного круга, а основание - стороне десятиугольника.
