Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Мотив. Sweet Betsy from Pike — песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah[216], популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinah была любимой песней Алисы Лидделл — девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби[217], то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess.[218]
Строка 1. См. главу 5.vii.
Строка 2. Полное имя Римана было Георг Фридрих Бернхард Риман (глава 2.iii). Насколько известно, он всегда пользовался только именем Бернхард.
Строка 3. По поводу «критической прямой» (она же критическая линия) см. главу 12.iii, рисунок 12.1.
Строка 4. Это следует сравнить с утверждением из главы 13.viii, что на высоте T вдоль критической прямой средний интервал между нулями ~2π/ln (T/2π). Это означает, что на единицу длины вдоль прямой приходится ~(1/2π)/ln (T/2π) нулей. Это автор песни и имеет в виду под «плотностью». Заметим, что, согласно правилам обращения с логарифмами, ln (T/2π) равен ln T − ln (2π), т.е. ln Т − 1,83787706…. Умножив это на 1/2π, получим (1/2π)ln T − 0,29250721…. По мере роста T растет (хотя и намного медленнее) и ln T, так что слагаемое величины 0,29250721… становится совершенно несущественным. Следовательно, плотность равна «один-на-два-пи эль-эн T».
Строка 8. В оригинале обозначение mod t использовано для модуля числа t, определенного в главе 11.v. Когда, как в данном случае, под t понимается вещественное число, mod t — в нормальных обозначениях |t| — выражает просто величину t без учета знака.[219] Как отмечалось в главе 16.iv, t (или T) — довольно стандартное обозначение в теории дзета-функции, когда говорят о больших высотах вдоль критической прямой (или, более общим образом, как видно из обсуждения ГЛ в примечаниях к строчкам 21-28, о мнимой части аргумента дзета-функции).
Строка 9. Харальд Бор (глава 14.iii) и Эдмунд Ландау доказали в 1913 году важную теорему о функции S (см. главу 22.iv), которая гласит, что если дзета-функция имеет лишь конечное число нулей вне критической прямой, то функция S(t) неограничена, когда t стремится к бесконечности. Упоминавшееся в главе 22.iv доказательство Сельберга 1946 года, что S(t) неограничена, — более сильный результат, поскольку не требует указанного условия. По поводу Крамера см. главу 20.vii. Помимо разработки упомянутой там «вероятностной модели» для распределения простых чисел Крамер также доказал и один менее значительный результат о функции S: если ГЛ (см. примечания к строчкам 21-28) верна, то S(t)/ln t стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности. По поводу Литлвуда и Харди см. главу 14; по поводу Титчмарша — главу 16.v.
Строки 13-16. Глава 14.v.
Строка 17. Чтобы попасть в размер, термин Li здесь надо произносить как как ell-eye (в оригинале, и как «ли» в переводе. — Примеч. перев.). Далее автор песни обсуждает остаточный член π(x) − Li(x), который мы подробно рассматривали в главе 21.
Строка 18. «Как там с порядком P — неизвестно» означает, что «P есть Ο большое от… от чего? — неизвестно». По поводу Ο большого см. главу 15.ii-iii; при этом имеются в виду большие значения x.
Строки 19-20. Если бы удалось доказать, что π(x) − Li(x) = Ο(√x∙ln x) (другими словами, на разность имеется ограничение, т.е. «потолок»), то и ГР была бы доказана. В этом заключается результат, обратный результату фон Коха 1901 года, приведенному в главе 14.viii. Там это не упомянуто, но если формула фон Коха верна, то верна и ГР. Они следуют друг из друга.
Строки 21-28. Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) — знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении — т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.
Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде σ + ti, задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть σ (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ζ(σ + ti), когда t (мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |ζ(σ + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной σ и аргумент t, и значение |ζ(σ + ti)| — вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений σ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.
Рисунок П1.
Рисунок П2.
Рисунок П3.
Рисунок П4.
Рисунок П5.
Рисунок П6.
Рисунок П7.
Рисунок П8.
Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.
Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: 1/2 на рисунке П4 (что отвечает ζ(0) = −1/2 на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |−1/2| есть просто 1/2); бесконечность на рисунке П6 (расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7 (решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8 (число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2 есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1 и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).
ГЛ — это утверждение об Ο большом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.
• При σ = −1, −2 и −3 график выглядит так, как если бы он был Ο большое от некоторой ускоренно растущей функции от t, может быть, степенной типа t2 или t5, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как σ движется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.
• При σ = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас Ο(1), или, другими словами, Ο(t0).
• В критической полосе, т.е. при σ = 0, 1/2 и 1, нелегко сказать, какое Ο большое могло бы подойти.
Могло бы так случиться, чтобы для любого значения σ существовало определенное число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ)? Так, чтобы μ = 0, когда σ больше 1, и чтобы μ было некоторым растущим положительным числом, когда σ уходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда σ = 1/2?
Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения σ действительно имеется число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ+ε) для произвольно малого ε. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ε, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число μ является функцией от σ. Отсюда и взялась функция Линделёфа μ(σ) в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса μ из главы 15 — еще один прискорбный случай перегрузки символов.
