Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

К ГР поэтому следует подходить в духе Адамара и Харди (но желательно без того оттенка меланхолии, который Харди внес в свое «отречение»). Как сказал мне Эндрю Одлыжко, «она или верна, или нет». Когда-нибудь это станет известно. Я представления не имею, какими будут следствия, и я не думаю, что кто бы то ни было другой это знает, однако я уверен, что последствия будут огромными. В конце охоты наше понимание претерпит изменение, а до этого момента радость и очарование заключаются в самой охоте, а для тех из нас, у кого нет подходящего снаряжения, — в наблюдении за энергией, решимостью и изобретательностью охотников. Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Эпилог

Бернхард Риман умер в пятницу 20 июля 1866 года, не дожив нескольких недель до своего сорокалетия. Осенью 1862 года он подхватил очень сильную простуду, ускорившую развитие туберкулеза, которым он, по-видимому, страдал с детства.[212] Коллеги по Геттингену выхлопотали Риману несколько правительственных субсидий, которые позволили ему перебраться в более благоприятный климат, что в то время было единственным способом, который мог принести облегчение больному туберкулезом и замедлить развитие болезни.

Таким образом, последние четыре года своей жизни Риман почти полностью провел в Италии. Умер он в Селаске, на западном берегу Лаго-Маджоре в Пьемонтских Альпах. Его жена Элиза и их трехлетняя дочь Ида были с ним. В краткой биографии, которой он дополнил «Собрание трудов» Римана, Рихард Дедекинд так описывает последние дни своего друга.

28 июня он прибыл на Лаго-Маджоре, где поселился на вилле Пизони в Селаске, неподалеку от Интры.[213] Силы быстро оставляли его, и он с полной ясностью понимал, что конец его приближается. Тем не менее за день до смерти, отдыхая в тени фигового дерева и наслаждаясь прекрасными видами вокруг, он трудился над одной из тех работ, которая, увы, осталась незавершенной. Скончался он мирно, без борьбы и агонии. Он как будто с интересом наблюдал за тем, как душа его отделяется от тела. Жена принесла ему вина и хлеба. Он попросил ее передать его последний привет всем домочадцам и сказал: «Поцелуй наше дитя». Она прочитала ему «Отче наш», но сам он уже не мог говорить. При словах «прости нам прегрешения наши» он благоговейно возвел взор вверх. Она чувствовала, что его рука холодеет в ее руках, и после нескольких вдохов его чистое и благородное сердце перестало биться. Благочестивый дух, заложенный в нем под крышей отцовского дома, он сохранил на всю жизнь и служил Господу верой и правдой, избрав свой собственный путь. Со своей высшей пробы преданностью Господу, он никогда не вмешивался в веру других: главное в религии, по его мнению, заключалось в том, чтобы ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа.

Он похоронен при церкви в Биганцоло, в приходе Селаски. На его надгробной плите начертано:

Здесь покоится в мире

ГЕОРГ ФРИДРИХ БЕРНХАРД РИМАН

профессор из Геттингена

род. в Брезеленце 17 сент. 1826

сконч. в Селаске 20 июля 1866

Любящим Бога

все содействует ко благу.

Вся надпись сделана по-немецки. Эпитафия взята из Послания к римлянам св. апостола Павла, 8:28. (По-немецки: Denen die Gott lieben müssen alle Dinge zum Besten dienen.) Могилы Римана больше не существует — она была уничтожена при перепланировке церковных земель. Однако плита с надписью сохранилась и стоит возле стены неподалеку.

Элиза Риман с дочерью вернулись в Геттинген. Они жили там с оставшейся сестрой Бернхарда Римана, которую также звали Ида, по адресу Weender Chaussee 17. Соседний дом с номером 17А занимал Херманн Шварц — университетский профессор математики.[214] Кафедру Римана в университете занял Альфред Клебш, написавший основополагающий текст по современной алгебраической геометрии.

В 1884 году дочь Римана Ида, которой к тому времени исполнилось 20 лет, вышла замуж за Давида Шиллинга, который в 1880 году получил ученую степень под руководством Шварца и сохранил с ним дружеские отношения. Вскоре после этого Шиллинг получил должность директора Морской академии в Бремене. В сентябре 1890 года вдова Римана и его сестра отправились жить вместе с Шиллингами в Бремен. Дочь Римана дожила до 1929 года, а ее муж до 1932-го. По-видимому, у них была большая семья, но точное число их детей от меня ускользнуло. Как бы то ни было, потомки Бернхарда Римана к настоящему времени слились с общей массой человечества.

Хотя недолгие годы были ему отпущены и немного имеется печатных страниц, запечатлевших результаты его исследований, имя его есть и будет на языке у математиков. Большая часть его трудов — шедевры, наполненные оригинальными методами, глубокими идеями и широким творческим воображением.

Джордж Кристал, из статьи «Риман» в издании Encyclopedia Britannica, 1911 год

Приложение 1

Гиганты и их покровители

Леонард Эйлер

Петр Великий

Карл Фридрих Гаусс

Карл-Вильгельм-Фердинанд, герцог Брауншвейгский

Бернхард Риман, его наставник и его друг

Риман, начало 1950-х годов

Риман, 1863

Лежен Дирихле

Рихард Дедекинд

Теорема о распределении простых чисел

Шарль де ля Валле Пуссен

Жак Адамар

Пафнутий Львович Чебышев

Атле Сельберг

Первопроходцы XX столетия

Давид Гильберт

Эдмунд Ландау

Г.Х. Харди

Джон Идензор Литлвуд

Вычислительное направление

Йорген Педерсон Грам

Карл Зигель

Алан Тьюринг

Эндрю Одлыжко

Алгебраисты

Эмиль Артин

Андре Вейль

Пьер Делинь

Ален Конн

Физическое направление

Джордж Пойа

Фримен Дайсон

Хью Монтгомери

Сэр Майкл Берри

Гипотеза Линделёфа и модель Крамера

Эрнст Линделёф

Харальд Крамер

Счет и измерение

Автор с семьей и Тай-е, которому арифметически 97 лет, но аналитически всего 95,522…

Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Том Апостол, заслуженный профессор математики в отставке из Калтеха, написал в 1955 году гимн по поводу Гипотезы Римана (ГР) и исполнил его на конференции по теории чисел, проходившей в Калтехе в июне того года. Исходно написанные Томом стихи заканчивались на 32-й строке; последние два куплета в 1973 году вывесил на доске объявлений в Кембриджском университете алгебраический тополог Сондерс Маклейн. В песне упоминается гипотеза Линделёфа (ГЛ) — младшая сестра ГР. Она была сформулирована в 1908 году, и, по существу дела, ее надо было бы привести где-то в главе 14; но, поскольку она второстепенна по отношению к нашей главной теме и поскольку в ней используется обозначение «Ο большое» из главы 15, а также потому, что я в тот момент посчитал, что в книге и так уже достаточно математики, я не стал ее включать в текст. Правда, стихи Тома без нее не понять, а заставить себя выкинуть песню я не смог. В результате перед вами и сама песня, и, в качестве бесплатного приложения, еще и гипотеза![215]

Где же нули у функции дзета? (на мотив Sweet Betsy from Pike)

1   Где же нули у функции дзета?    Нам Риман оставил догадку про это:    «На критической линии, там они все,    А их плотность — один-на-два-π ln T».

5   И эта гипотеза, словно заноза,    Многих людей довела до психоза.    Стремились они дать строгий расчет,    Что происходит, когда t растет.

     Ландау, и Бор, и Крамер, и Харди10 Среди одержимых шли в авангарде.     Но все-таки даже они не смогли     Уверенно все перечислить нули.

     Впоследствии Харди сумел доказать,     Что на этой прямой их несметная рать,15 Но его теорема все ж не исключает,     Что где-то еще те нули обитают.

     Пусть P будет π минус Li — вот прелестно!     Но как там с порядком P — неизвестно.     Если корень из x ln x — потолок,20 То Гипотезу Римана вывесть я б смог.

     Вопрос про μ(σ) задал Линделёф;     Над ним потрудилось немало умов.     Проверим критическую полосу,     И сколько нулей там — как на носу.

25 Но функция эта ведет себя сложно,     Ее изучили, насколько возможно.     «График должен быть выпуклым, — смог он сказать, —     Если сигма сама превосходит 0,5».

     Так где же нули у функции дзета?30 Даже через столетие все нет ответа.     А ТРПЧ можно все улучшать,     Но контур обязан нули избегать.

     Тем временем Вейль обратился к предмету,     Используя более хитрую дзету.35 Коль характеристика поля равна     Простому числу — теорема верна.

     Мораль этой притчи нетрудно понять,     И всем юным гениям следует знать:     Если не выручает обычный подход,40 То по модулю p — авось повезет!

Том М. Апостол, перевод Сергея Ельницкого Where are the zeros of zeta of s?

Where are the zeros of zeta of s?G.F.B. Riemann has made a good guess:«They're all on the critical line,» stated he,«And their density's one over two pi log T».

This statement of Riemann's has been like a trigger,And many good men, with vim and with vigor,Have attempted to find, with mathematical rigor,What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramér,Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there.In spite of their effort and skill and finesse,In locating the zeros there's been no success.

In 1914 G.H. Hardy did find,An infinite number that lie on the line.His theorem, however, won't rule out the case,That there might be a zero at some other place.

Let P be the function pi minus Li;The order of P is not known for x high.If square root of x times log x we could show,Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,Concerning the Lindelöf function mu sigma,Which measures the growth in the critical strip;On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,Convexity tells us it can have no waves.Lindelöf said that the shape of its graphIs constant when sigma is more than one-half.

Oh, where are the zeros of zeta of s?We must know exactly. It won't do to guess.In order to strengthen the prime number theorem,The integral's contour must never go near 'em.

André Weil has improved on old Riemann's fine guessBy using a fancier zeta of s.He proves that the zeros are where they should be,Provided the characteristic is p.

There's a moral to draw from this long tale of woeThat every young genius among you must know:If you tackle a problem and seem to get stuck,Just take it mod p and you'll have better luck.

Примечания

Мотив. Sweet Betsy from Pike — песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah[216], популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinah была любимой песней Алисы Лидделл — девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби[217], то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess.[218]