Флатландия. Сферландия - Эдвин Эбботт
Упомянем здесь некоторые из наиболее простых фигур четырехмерной геометрии, аналогичные фигурам, изучаемым нашей стереометрией.
Первые фигуры, о которых следовало бы упомянуть, — это гиперпризма и гиперцилиндр с параллельными линейными элементами, а также гиперпирамида и гиперконус с линейными элементами, пересекающимися в вершине. Основаниями всех этих гипертел служат многогранники или некие другие трехмерные тела, а их линейные элементы исходят из трехмерного пространства, в котором лежит основание. Гиперкуб является частным случаем гиперпризмы.
Простейший случай гиперпирамиды — фигура, называемая пентагедроидом. В основании ее лежит тетраэдр, или треугольная пирамида. Таким образом, пентагедроид имеет всего пять вершин. Любые пять точек, не лежащие в одном 3-пространстве, можно считать вершинами некоторого пентагедроида. Если из этих пяти точек мы будем всеми возможными способами выбирать но четыре, то получим пять тетраэдров. Следовательно, пентагедроид можно получить как гиперпирамиду пятью различными способами. Тетраэдры расположены так, что имеют попарно общие грани, каждый тетраэдр имеет одну общую грань с каждым из остальных. Эти тетраэдры можно разрезать так, чтобы они образовали трехмерную развертку пентагедроида, то есть чтобы их можно было развернуть в одном 3-пространстве. Трехмерная развертка пентагедроида имеет вид тетраэдра, на каждой из граней которого построено еще по одному тетраэдру. Пентагедроид образуется, когда эти тетраэдры Определенным образом поворачиваются. При таком повороте ни один из тетраэдров не искажается и не отделяется от другого. Сложенные вместе, пять тетраэдров образуют одну замкнутую фигуру, заключающую внутри себя конечную часть гиперпространства. Процесс получения гипертела из его трехмерной развертки аналогичен процессу получения трехмерного тетраэдра из его плоской развертки.
В общем случае граница гиперпирамиды состоит из многогранника, лежащего в основании, и боковых пирамид, покоящихся на гранях основания. Боковые пирамиды примыкают друг к другу общими гранями так же, как грани многогранника, лежащего в основании, примыкают друг к другу общими ребрами.
Гиперпирамиду, в основании которой лежит пирамида, можно рассматривать как гиперпирамиду двумя способами. В каждом из двух случаев вершиной гиперпирамиды служит одна из вершин трехмерной пирамиды, лежащей в основании гиперпирамиды при ином способе рассмотрения. Трехмерные пирамиды, служащие основаниями, имеют общее основание — многоугольник. Таким образом, гиперпирамида определяется многоугольником и двумя точками, не лежащими в одном 3-пространстве с этим многоугольником. Прямую, проходящую через две указанные точки, можно было бы назвать вершинной прямой. Граница гиперсферы состоит из двух пирамид и части, порождаемой треугольником, размеры и форма которого могут изменяться, но одна сторона остается неизменной, а противоположная ей вершина пробегает все точки некоторого многоугольника, не лежащего в одном 3-пространстве с фиксированной стороной. Производящий треугольник иногда называют треугольным элементом.
Аналогично гиперконус, основанием которого служит конус, можно рассматривать двумя различными способами. Его границей служат два конуса и некоторая часть, порожденная треугольником с одной фиксированной стороной. Вершина треугольника, противоположная фиксированной стороне, пробегает плоскую кривую, но лежащую в одном 3-пространстве с фиксированной стороной.
Граница гиперпризмы состоит из двух многогранников, служащих основаниями, и боковых призм. Основаниями боковых призм служат грани многогранников, лежащих в основании гиперпризмы. Боковые призмы примыкают друг к другу вдоль общих боковых граней.
Если основаниями гиперпризмы служат призмы, то ее боковая граница состоит из двух призм и набора параллелепипедов. Такую фигуру можно рассматривать как гиперпризму двумя способами. Две призмы, которые в одном случае являются боковыми, в другом служат основаниями. Все четыре призмы последовательно соединены друг с другом основаниями. Каждый из параллелепипедов двумя противоположными гранями примыкает к двум соседним параллелепипедам, а остальные его четыре грани примыкают к боковым граням; каждой из четырех призм. Если четыре призмы отсечь от параллелепипедов и провести разрез вдоль одного из общих оснований, то их можно развернуть в одном 3-пространстве. Если к тому же призмы были прямыми, то мы получим одну прямую призму. Параллелепипеды можно разъединить, проводя разрез вдоль одной из общих граней и так же развернуть их в одном 3-пространстве, при этом, если параллелепипеды были прямоугольными, мы получим одну прямую призму (параллелепипед). Взяв одну из больших призм, мы сможем приставить ее под углом к другой большой призме так, чтобы их общие грани совместились. Затем одну из призм можно будет обкатывать по другой призме, при этом все соответственные грани будут совмещаться. В исходной фигуре обе призмы были свернуты вокруг друг друга так, что каждая точка боковой поверхности одной из призм приходилась на соответствующую точку, принадлежащую боковой поверхности другой призмы, и обе призмы вместе замыкали внутри себя конечную часть четырехмерного пространства.
Если мы выберем из четырех призм четыре элемента, образующие параллелограмм, то все параллелепипеды мы получим, двигая этот параллелограмм параллельно самому себе. При этом вершины его будут описывать основания призм. Набор из четырех призм можно также получить, передвигая параллельно самим себе многоугольные основания. При этом вершины оснований будут описывать параллелограммы, вдоль которых параллелепипеды примыкают друг к другу. Таким образом, параллелограмм и многоугольник играют роль производящих элементов, причем каждый служит для другого направляющей при получении соответствующей части гиперпризмы.
Аналогичным образом можно построить гиперцилиндр с двумя цилиндрическими основаниями. Часть боковой поверхности гиперцилиндра состоит из двух цилиндров, соединяющих концы цилиндрических оснований, поэтому всю фигуру можно рассматривать как гиперцилиндр двумя способами. Из четырех цилиндров можно выбрать четыре элемента, образующие параллелограмм, а остальную часть боковой границы можно построить, двигая этот параллелограмм параллельно самому себе. При этом его вершины будут описывать основания цилиндров. Поскольку цилиндры можно получить аналогичным способом, двигая плоскую кривую параллельно самой себе вокруг любого из параллелограммов, то параллелограмм и замкнутая плоская кривая позволяют получить весь гиперцилиндр. При построении одной его части параллелограмм служит производящим элементом, а замкнутая плоская кривая — направляющей, при получении другой части роли элементов меняются.
Таким образом, гиперпризму, основаниями которой служат призмы, и гиперцилиндр с цилиндрическими основаниями можно рассматривать как частные случаи некоторого класса гипертел, допускающего следующие описания. Расположим два многоугольника, две замкнутые плоские кривые или многоугольник и плоскую кривую так, чтобы они пересекались, но не лежали в одном 3-пространстве. Их плоскости будут пересекаться лишь в той точке, где пересекаются сами кривые. Один многоугольник или одну кривую начнем двигать параллельно себе вокруг другой. При этом мы получим трехмерную фигуру в форме кольца
