Алексей Лосев - Хаос и структура

Тут [все три ] дедуцированных нами закона арифметического счета суть только проявления этой общеарифметической идеи конгруэнции; и они вырастают из нее как из своего глубокого и последнего основания. Эта идея есть и наилучшая арифметическая интерпретация той общедиалектической аксиомы ставшего числового бытия, которая дедуцирована выше.

Когда говорится, что две величины, равные порознь третьей величине, равны между собою, то, очевидно, предполагается, что эти две величины по крайней мере по внешнему своему виду различные, так как, будь они равны с самого начала, не было бы смысла и выставлять эту аксиому. Следовательно, обе эти величины имеют полное право быть внешне различными. Однако что же это значит? Могут ли они быть количественно различными? Конечно, нет. Могут ли они стоять на любом месте? Да, они могут стоять на любом месте, но этот принцип нельзя понимать в абсолютном смысле. Если бы тут был абсолютный принцип безразличия порядка действий, тогда можно было бы в математическом выражении числитель писать вместо знаменателя и обратно, показатель степени — вместо основания и обратно, и т. д. Конечно, не эту нелепость утверждает аксиома конгруэнтности. Но тогда что же остается? Сказано совершенно точно: тождество направлений становления. Становление есть тут, как известно, действие, арифметическая операция, но не в смысле количественной значимости вовлеченных в эту операцию чисел и не в смысле порядка отдельных моментов операции. Поскольку становление есть инобытийно–алогическое, т. е. сплошно–непрерывное, развертывание, под[64] становлением в смысле арифметической операции можно понимать только вариирование операции в условиях полной сохранности ее смысловой структуры. Это и заставляет геометров связывать конгруэнцию с понятием движения и перемещения и утверждать, что конгруэнтность есть неизменность фигуры при перенесении ее в любое место. Тут как раз и имеется в виду алогическое становление фигуры (ее перемещение) при условии сохранности ее структуры. Точно то же имеем мы и в арифметике. Две величины, равные порознь третьей, могут обладать именно разными направлениями своего становления (например, а + b и b + а) в этом и заключается то, что мы выше назвали разницей внешнего вида величин. Таким образом рассматриваемое арифметическое положение действительно с огромной точностью воспроизводит в арифметических терминах общедиалектическую аксиому конгруэнтности.

4. Необходимо отдавать себе полный логический отчет в диалектической последовательности и назревании числовой мысли в арифметике. Когда мы строили аксиомы едино–раздельности, арифметика созрела у нас до степени категории счета. Что надо для счета? Для этого нужно, чтобы каждое число было сформировано внутри себя самого и чтобы ясно было отношение сформированных чисел между собою. Первое было определено категориями самотождественного различия и подвижного покоя. Второе было дано через закон определенности числового бытия. Но, получивши идею арифметического счета, мы, в сущности, получили не что иное, как возможность бесконечно двигаться вперед и назад по натуральному ряду чисел. Надо было внести какие–нибудь диф–ференции в это безразличное движение по натуральному ряду, т. е. надо было получить возможность не просто выхватывать те или иные числа из этого ряда, но надо было уметь пользоваться и разными комбинациями этих чисел. Для этого надо было внести моменты становления в самую категорию счета. Получились разнообразные арифметические действия. Последние и есть ведь не что иное, как самый обыкновенный счет, но только с различными дифференциациями внутри себя, т. е. в условиях различного комбинирования чисел. Но ведь числа твердо держатся каждое на своем месте в общем натуральном ряду чисел. Если мы допускаем любое их комбинирование, то возникает вопрос: не прикованы ли они к своему месту настолько крепко, что каждый отрыв их от данного места и приковывание к новому месту влекут за собою их собственную деформацию? Чтобы этот «отрыв» и это новое полагание не мешали их чисто количественным отношениям, требуется нейтральность инобытия, несущего на себе эти комбинации чисел и заново осуществляющего их на любом участке числового протяжения. Но это значит, что требуется не только непрерывность чисел и действий над ними, но еще и конгруэнтность как чисел, так и действий. А для этого надо воспользоваться категорией ставшего.

5. Только теперь, с присоединением аксиомы конгруэнтности, наш счет, который мы вывели в сфере едино–раздельности только отвлеченно, наполнился живым содержанием и превратился в реальные законы арифметического счета вообще. Но это не значит, что невозможна арифметика без аксиомы конгруэнтности. Наш общий перво–принцип конгруэнтности, формулированный в § 64.3, гласит вовсе не то, что решительно всякое арифметическое число конгруэнтно. Он гласит только то, что всякое арифметическое число «так или иначе определено с точки зрения конгруэнтности». А вполне возможна арифметика, где этот принцип будет действовать отрицательно, и мы получим здесь числа, лишенные принципа конгруэнтности. Ниже (§ 66.5) мы укажем теорему Паскаля как наиболее яркую для характеристики геометрической конгруэнции. Если возможна непаскалева геометрия, то так же возможны и непаскалевы числа. Это числа, к которым применимы все упомянутые выше законы счета, кроме закона коммутативности умножения. Если бы мы стали входить в подробности, то, между прочим, мы нашли бы, что для неконгруэнтности в этом смысле необходимо нарушение принципа непрерывности, так что не все неархимедовы числа суть непаскалевы, но все непаскалевы обязательно суть в то же время и неархимедовы. Это должно быть понятно <…>, потому что в диалектической системе становление предшествует ставшему и, отвлеченно говоря, становление возможно без ставшего, но ставшее невозможно без становления. Нагляднее это дело будет обстоять в геометрической области.

1. а) О конгруэнтности в геометрии говорили больше всего, и это только потому, что там она видна грубее и показательнее, а вовсе не потому, что роль ее тут больше по существу. Даже самое понятие конгруэнтности почти не выяснилось геометрами, <…> и общепонятном смысле. Гильберт без дальнейших разъяснений говорит «конгруэнтный или равный», так что остается неизвестным, чем же конгруэнтность отличается от равенства. Невозможно понять, чем конгруэнтность отличается от подобия. Большинство геометров объединяет конгруэнтность с понятием движения. Так, Пеано брал понятия «точки», «отрезка» и «плоской поверхности», присоединял к ним «движение» и отсюда конструировал аксиому конгруэнтности. Другие (Виери) брали «точку» и «движение» и т. д.

Это «движение» в данном контексте или непонятно, или, когда становится понятным, оказывается весьма наивным. В самом деле, зачем геометры привлекают эту категорию? По–видимому, тут имеется в виду очень простая вещь: чтобы судить о конгруэнтности, надо две фигуры [сопо]ставить между собою или заставить одну и ту же фигуру передвинуться на другое место с тем, чтобы потом посмотреть, не изменилась ли она в своих очертаниях. Если это представление правильно, то можно только удивляться его наивности.

b) Во–первых, вполне абсурдно применять к геометрическим фигурам понятие движения в физическом смысле. Когда мы говорили о покое и движении, то понимали под этим чисто смысловые категории (образец: от единицы мы «движемся» к двойке, от двойки — к тройке, и т. д.). Но говорить о том, что треугольник «движется» по пространству— это значит высказывать нелепость или выбирать слишком грубую манеру выражаться. В этом же смысле можно говорить о движениях по топологическому или проективному пространству. В этом [же] смысле «движение» играет первостепенную роль и в аксиоме параллельности (к которой мы в дальнейшем перейдем), так как, чтобы судить о том, встречаются ли где–нибудь параллельные или нет, надо прежде всего «двигаться» по этим параллельным. Движение в этом смысле играет первостепенную роль везде в числе, начиная с его первых категориальных моментов.

Во–вторых, под «движением» геометры имеют в виду здесь вовсе не движение, а, наоборот, если угодно, «покой», так как понятие конгруэнтности есть во всяком случае понятие как [ого ] — то взаимо–соответствия, взаимосоотнесенности, какого–то совпадения, а это все суть виды покоя или, лучше, подвижного покоя. В–третьих, однако, дело тут, конечно, и не в покое. И движение, и покой суть слишком общие категории, применяемые в математике решительно ко всему[65], и не ими можно вскрыть сложную категорию геометрической конгруэнтности. Чтобы ее усвоить, надо присмотреться к ряду простейших геометрических операций. Пусть мы впервые пришли от точки А до точки В. Мы получили некую линию — пусть, например, прямую. Профану покажется, что если речь идет о получении прямой, то одной этой операции «движения» от А до В и достаточно, чтобы получить прямую. На самом же деле это вовсе не так просто.