Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике

Парадоксы имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя ключевую роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности. Изначально считалось, что Зенон создал более сорока парадоксов, посвящённых этой теме, но из всех дошедших до наших дней наиболее известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепахи, парадокс стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмотрим ниже.

Дихотомия

Этот парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его невозможность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В, сначала необходимо переместиться на половину этого расстояния, затем — половину оставшейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний, которое должно преодолеть тело, нельзя пройти за конечное время. Следовательно, движение невозможно.

Ахиллес и черепаха

Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они стартуют одновременно, то Ахиллес очевидно придёт к финишу первым. Всё изменится, если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно ни было. В этих условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в которой изначально находилась черепаха. Но когда он достигнет этой точки, черепаха уже отойдёт на некоторое расстояние. Ахиллесу снова придётся пробежать расстояние, отделяющее его от черепахи. Однако за то время, пока он будет бежать, черепаха отойдёт ещё дальше, и Ахиллес по-прежнему не сможет догнать её. Так как этот процесс повторяется бесконечно, он никогда не догонит черепаху.

Может показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи, однако между ними существует небольшая разница: в первом случае пространство делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и черепахе — на всё более мелкие части.

Стрела

Этот парадокс — самый неоднозначный из четырёх. Историки указывают, что исходный текст дошёл до нас не полностью и его пришлось восстанавливать. Суть парадокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она удаляется от нас, но в действительности она не движется, так как стрела, как и всякий другой объект, занимает пространство, равное самой себе, но для этого она должна находиться в покое. Если время состоит из неделимых мгновений, стрела не может занимать два или более места в пространстве одновременно.

Если в двух первых парадоксах речь идёт о невозможности бесконечного деления пространства, то этот парадокс посвящён неделимости времени, в частности существованию того, что мы называем «мгновение», так как если оно неделимо, оно не имеет длительности, и, следовательно, движение невозможно. Мгновение, понимаемое таким образом, подобно точке в геометрии.

Стадион

Допустим, что время — дискретная величина, и его основной единицей является произвольная сколь угодно малая величина t. Это означает, что не существует единицы времени, меньшей t, которая, следовательно, является неделимой. Можно представить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица времени.

Рассмотрим четыре равных тела А1, A2, А3 и А4 которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идёт о шеренге из четырёх солдат):

и четыре других тела B1, B2, B3 и B4, точно соответствующие предыдущим четырём, движущиеся вправо:

Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:

Рассмотрим теперь третий ряд тел C1, C2, C3 и C4, также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:

Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:

то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:

Но это означает, что C1 сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что противоречит исходному утверждению о её неделимости.

Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.

В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвящён делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д.

В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости геометрических фигур.

ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ

Зенон Элейский (ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В монизме считается, что всё сущее неизменно и никакие изменения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времён сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы — простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения математики…» («Начала математики», книга 1,1903)

На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображён Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).

Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.