Kniga-Online.club
» » » » Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике

Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике

Читать бесплатно Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике. Жанр: Математика год 2004. Так же читаем полные версии (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте kniga-online.club или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Назад 1 ... 25 26 27 28 29 Вперед
Перейти на страницу:

√2 = p/q

Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть её числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

2 = p2/q2

и, как следствие,

p2= 2q2

Это означает, что р2 чётно, поэтому р также чётно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем

2q2 = р2 (2n)2 = 4n2.

Упростив равенство, получим

q2 = 2n2.

Иными словами, q2 чётное, поэтому q также чётное. Мы пришли к выводу, что и р, и q — чётные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.

Первые приближённые значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.

Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:

√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.

С помощью современных компьютеров можно получить приближённое значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.

Множества чисел

Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой . Это множество записывается так:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.

На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида

х − 20.

Однако уравнения вида х + = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой .

Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида

2x + 3 = 0,

корнем которого является x = −3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел . Для уравнений вида

х2 20

следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел .

Наконец, уравнение

х2 + 2 = 0

не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа, которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, позволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел, множество которых обозначается буквой . Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).

Каждое из определённых нами множеств включает предыдущее (является его алгебраическим расширением):

Библиография

BOYER С.В. Historia de la matemática, Barcelona, Destino, 2009.

CANTOR G. Fundamentos para una teoría general de conjuntos, Madrid, Alianza Universidad, 1986.

COLLETTE J.P. Historia de la matemática, Madrid, Siglo XXI, 1985.

DEDEKIND R. ¿Qué son у para que sirven los números? Madrid, Alianza, 1998.

GUTHRIE Ch. Historía de la filosofía griega, Madrid, Gredos, 2009.

KLINE M. El pensamiento matematico de la Antigiiedad a nuestros días, Madrid, Alianza Universidad, 1992.

MANKIEWICZ R. Historia de las matemáticas, Barcelona, Paidós, 2005.

MONNOYEUR F. El infinito de los matemáticos, el infinito de los filósofos, Paris, Editions Belin, 1995.

MOSTERIN J. Los lógicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.

STEWART I. De aquí al infinito, Barcelona, Crítica (Grijalbo Mondadori), 1998.

ZELLINI P. Breve historia del infinitoy Madrid, Siruela, 2003.

Назад 1 ... 25 26 27 28 29 Вперед
Перейти на страницу:

Грасиан Энрике читать все книги автора по порядку

Грасиан Энрике - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки kniga-online.club.


Открытие без границ. Бесконечность в математике отзывы

Отзывы читателей о книге Открытие без границ. Бесконечность в математике, автор: Грасиан Энрике. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор kniga-online.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*