Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Поскольку O1B ⊥ ASB, то O1B ⊥ SB, аналогично O2B ⊥ SB, откуда SB ⊥ O1BO2. Мы доказали, что SB — высота пирамиды SO1BO2.

Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, остается вычислить длину отрезка BO1. Так как отрезок EC из треугольника ASC определяется легко:

EC² = a²/4b²(4b² − a²),

то дальнейшие вычисления нельзя проводить, оставаясь в плоскости BEC (рис. P.3.40, б). Обратим лишь внимание на тот факт, что треугольники BES и CES равны, т. е. BE = CE, откуда следует, что биссектриса ED является в треугольнике BEC и медианой. Фигура BECO1 — ромбоид (BC ⊥ EO1). Обозначим EC = с, BO1 = x. Треугольники ECO1 и ECD подобны. Поэтому ED : с = a/2 : x, откуда x = ac/2ED, т. е. x² = a²c²/4c² − a². 

Подставляя вместо с = EC его выражение через а и b, получим

OB² = a²(4b² − a²)/4(3b² − a²).

Теперь можно определить высоту треугольника O1BO2, опущенную на O1O2. Она равна  Все элементы, необходимые для вычисления объема, сосчитаны.

Ответ.

3.41. Расстояние между центрами O1 и O3 двух не касающихся друг друга шаров равно 2r√2 (рис. P.3.41, а).

На рис. P.3.41, б изображено осевое сечение конуса, проходящее через O1 и O3. B этом же сечении будет лежать и O5. B треугольнике O5O1Е сторона O1O5 = 2r, а O1Е = r√2 , следовательно  т. е. угол O5O1Е равен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику O1O5Е . Поэтому H = R. Найдем H:

H = SO5 + O5E + ED = √2r + 2r/√2 + r = r(2√2 + 1).

Теперь можно найти и объем конуса:

V = πr³/3(2√2 + 1)³.

Ответ. πr³/3(22√2 + 25).

3.42. Так как ребро SD перпендикулярно к плоскости основания, то треугольник SCD (рис. P.3.42, а), в который вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.

 Радиус этой окружности равен частному от деления площади треугольника SDC на полупериметр, т. е.

Угол MEK равен углу SAD, так как треугольники MEK и SAD подобны. Из треугольника SAD находим ctg ∠ SAD = a/h. Следовательно, и ctg ∠ MEK = a/h. Для дальнейших рассуждений достаточно рассмотреть трапецию EMNF (рис. P.3.42, б).

Отрезок MK = 2r. Из треугольника MEK находим

EK = MK ctg ∠ MEK = 2ra/h.

Искомый отрезок

KF = EF − EK = a − 2ra/h = a(h − 2r)/h.

Ответ.

3.43. Пусть OA = R, SO = H, ребро куба равно a (рис. P.3.43).

Из подобия треугольников SOA и SO1B получим

Так как

то

Из подобия треугольников SO1B и SO2C

Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее H:

С помощью первого соотношения определим теперь R:

Остается сосчитать отношение объемов: πR²H/3a³. 

Ответ.

3.44. Обозначим через а сторону нижнего основания пирамиды, через b сторону ее верхнего основания, а через S площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:

С другой стороны, объем равен

Приравнивая эти два выражения, найдем

Вспомним, что боковая грань — трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:

Сравнивая с предыдущим выражением для S, получим уравнение относительно а/b. После сокращения на а + b (равенство суммы а + b нулю не имеет геометрического смысла) и возведения в квадрат придем к выражению

2b² + ab − а² = 0

или

(a/b)² − a/b − 2 = 0.

Так как а и b — положительные величины, то а/b = 2, или а = 2b.

Чтобы связать величины b и r, спроецируем точку С1 на плоскость нижнего основания (рис. P.3.44). Поскольку радиус описанной окружности треугольника ABC в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника А1В1С1, то DC = b/√3.

По теореме Пифагора для треугольника С1DС

b² − b²/3 = 4r²,

откуда

b = r√6, а = 2b = 2r√6.

Остается вычислить объем:

Ответ. 7√3r³.

3.45. Пусть О1 и О2 — центры меньших шаров, О3 — центр большого шара, а О — центр шара, радиус которого нужно определить. Спроецируем точки O1, O2, O3 и О на плоскость (рис. P.3.45). Треугольник Р1Р2Р3 равнобедренный и точка P лежит на его медиане и высоте.

Обозначим радиус ОР = x. После этого многие отрезки на рис. P.3.45 можно будет выразить через R, r и x. Отложим на O3Р3 = R отрезок ВР3 = r. Треугольники O1O2В и Р1Р2Р3 равны, как основания призмы. Перед нами задачи — связать величины r = О1Р1 = О2Р2, R = О3Р3, x = ОР. Прямоугольные треугольники ОО1Е и ОО3С позволяют вычислить отрезки РР1 и Р3Р. Отрезок DР3 = AB можно найти из прямоугольного треугольника О3АВ (О3А можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник P1DP, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между r, R и x.

Проведем теперь все вычисления.

Из треугольника О3АО2 находим

из треугольника О3АВ находим

Следовательно,

Вычисляем

P3Р² = CO² = (R + x)² − (R − x)² = 4Rx