Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев
Отсюда и берется правило произведения: 15 · 14 способов.
Но есть одна хитрость. Я хочу посчитать пары независимо от порядка кружочков. Чтобы вот такие пары (см. рис. 13) не различались. Что надо сделать с количеством способов?
Рис. 13. Эти пары для нас не разные, а одинаковые.
Слушатель: Разделить на два.
А.С.: Да. Мы любую такую пару посчитали два раза. Один раз, когда мы сначала взяли синий круг, а потом белый. В другой раз мы первым взяли белый круг, а вторым синий. То есть мы каждую пару посчитали два раза. Поэтому ответ (15 · 14): 2 = 105.
Мы посчитали число имеющихся пар из 15 элементов «Цэ из 15 по 2», как говорят математики. «Цэ» означает первую букву слова combination (комбинация). См. формулу (1).
Математики любят символы. Но зачем они? Затем, что иначе придется очень много писать. Символы и язык математики нужны, чтобы сокращать запись. Почему древние греки и римляне не дошли до современных высот математики? Потому, что они тратили очень много времени на лингвистическую работу перевода математики в слова (и обратно: слов в математику). А вот когда математика перешла на символы, начался прорыв, о котором я еще расскажу.
Вернемся к нашим змейкам (формула (2))[5]. Первая из них соответствует измененной позиции, а вторая — исходной:
Для каждой пары чисел в каждой строке (а пар всего 105) мы спрашиваем, в правильном ли порядке написаны числа.
Слушатель: Частично да, частично нет.
А.С.: Верно. Например, 1 и 2 — в правильном порядке.
Слушатель: И последующая пара (2, 3) — тоже.
А.С.: Да, и следующая, и следующая за ней. То есть (4, 8).
Слушатель: В смысле «в правильном порядке»?
А.С.: «В правильном» не значит, что числа в паре соседние: и в (2, 3), и в (2, 7) — числа в паре расположены в правильном порядке.
Слушатель: По возрастанию.
А.С.: Да, по возрастанию. Большее следует за меньшим. Но, например, пара (15, 13) «нарушает порядок», потому что вначале идет большее число, потом меньшее.
Посчитаем количество пар, которые стоят в неправильном порядке. То есть по убыванию.
Слушатель: Простите, но ведь мы сами выбрали такую запись в виде извивающейся змеи. Мы разве не могли записать как-то иначе?
А.С.: Могли. Могли записать иначе, но тогда мы бы не преуспели в доказательстве того факта, который нам нужен.
Математика дает полную свободу исследователю. Когда он провел рассуждение и сказал: «Теперь всё доказано», — он оправдывает всё, что построил. Математик скажет: «Рассмотрим то-то и то-то». Зачем? Ужас, зачем, это рассматривать? А потом раз — и всё получилось (невзирая на «ужас»). Математика — самый свободный род занятий. Никакой моды, нет, ничего. Если вы, доказали недоказанную гипотезу, то чем бы вы ни пользовались, всё прощается. Победителей не судят (но иногда их слегка журят за сложноватое доказательство).
Итак, зачем я считаю пары, и почему так выписал змейку, пока не будет, понятно. Мы, договорились о некотором правиле. Мы, именно так выписываем числа. Вам придется принять это как есть. А дальше я считаю количество пар, которые стоят в неправильном порядке. Раз, два, три, четыре, пять, шесть… (см. рис. 14).
Рис. 14. Вылавливание неправильных пар в самом разгаре!
Условно разобьем наш ряд из 15 чисел на 4 группы в соответствии с номером строки. Рассмотрим для начала пару, элементы которой принадлежат разным группам. Ясно, что такая пара обязательно будет «правильной», так как любой элемент из группы слева меньше любого элемента из группы, стоящей правее: у нас группы от 1 до 4, от 5 до 8, от 9 до 12 и от 13 до 15. Значит, «неправильные» пары следует искать внутри групп. В первой и третьей группе всё хорошо, поэтому считать надо только оставшиеся две группы. Во второй группе 6 неправильных пар (8, 7; 8, 6; 8, 5; 7, 6; 7, 5; 6, 5). В четвертой группе чисел (для змейки, соответствующей измененной позиции) неправильных пар 2. Итого 8. А сколько неправильных пар в исходной позиции? (См. нижнюю строку на рис. 15 или в формуле (2) выше.)
Рис. 15. В верхней строке — восемь «беспорядков», а в нижней — девять.
Слушатель: 9.
А.С.: Да. 9. Мы находимся на подступах к пониманию. Сейчас я покажу, что никакие изменения пустого места не меняют четности, количества неправильных пар. Само количество, конечно, меняется. У нас оно пока равно 8, однако, если перемешать все фишки, согласно правилам игры «15», то количество неправильно стоящих пар изменится. Но удивительный факт состоит в том, что вы никогда не измените четности, этого количества. Само количество будет прыгать в сторону увеличения или уменьшения, но только на 2, на 4, на 6, словом, на ЧЕТНОЕ число единиц.
Начнем доказывать это утверждение. Где-то есть пустое место в коробке 4 x 4 (пусть конфигурация чисел, окружающих его, такая, как на рис. 16).
Рис. 16. И вот нашли пустое поле. Есть разгуляться где на воле!
Пустое место может сдвинуться в 4 направлениях (рис. 17).
Давайте рассмотрим все 4 варианта и посмотрим, что произойдет со змейкой.
Что происходит с выписанной змейкой чисел, если я передвигаю клетку с числом 11 налево?
Слушатели: Ничего.
А.С.: Правда. А что происходит со змейкой, если я передвигаю клеточку с числом 9 направо?
Рис. 17. Витязь на распутье. По какой же дороге мне пойти?..
Слушатели: Ничего.
А.С.: Ответ верный. Два других варианта немного более сложные, но совершенно однотипные.
Что происходит, когда клетка движется сверху вниз или снизу вверх?
Слушатель: У нас появляются неправильные пары.
А.С.: Да, у нас либо появляются, либо пропадают неправильные пары. Вопрос, сколько таких пар появляется и сколько пропадает? Ответ на этот вопрос зависит от того, где стояло пустое место. И вот здесь придется рассмотреть уже 4 варианта, но не для исходной стандартной змейки, а для любой. От самых простых в сторону самых сложных. Например, пусть в третьей строке получилось «9, 10, 11, пусто» (а номер
