Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев
Английский математик пишет новое письмо, в котором пытается заверить Рамануджана, что никто не будет претендовать на его открытие. Такое предположение оскорбляет индуса. Он отвечает, что совершенно не дорожит такими вещами, как авторство.
В конце концов Рамануджан все-таки приехал в Лондон, где стал профессором университета. Многие присланные им формулы оказались верны. Но далеко не все из предложенных им формул на сегодняшний день доказаны. Некоторые из них остаются откровениями, которые были сообщены богиней Рамануджану. «Абсолютное» их доказательство пока неизвестно.
А теперь отдохнем, посмотрим на этот футбольный мяч (рис. 3).
Рис. 3. Неужто и здесь прячется доказательство?
Из чего состоит мяч? Он сшит из лоскутков. Вы когда-нибудь задумывались над том, как именно сделан футбольный мяч и почему именно так? Это чисто математический вопрос. Вы пока подумайте, где же тут математика. А я приступаю к математическому доказательству невозможности выиграть в игру «15».
Начнем с гораздо более простой ситуации. Возьмем доску 8 x 8 (рис. 4) и достаточно большой запас (заведомо больший, чем нам может понадобиться) костей домино (одна доминошка покрывает две клеточки на доске).
Рис. 4. Доска 8 x 8.
Рис. 5. «Урезанная» доска 8 x 8.
Теперь я аккуратненько отрезаю у квадрата 8 x 8 два противоположных угла (рис. 5). Получилась фигура, которая состоит из 62 квадратиков. Число, делящееся на 2. Поэтому почему бы не попробовать замостить ее доминошками. Но если вы начнете пытаться сделать это один, два, три, четыре раза, у вас ничего не будет получаться. 30 доминошек влезет, а 31-я — нет. Физик, когда увидит эту ситуацию, поэкспериментирует 1000 раз и скажет: «Экспериментально установлен закон — нарисованная фигура не замощается доминошками 1 х 2». Физик[4] также может наблюдать за игрой в футбол много-много раз и сказать: «Экспериментально установлено, что мяч падает вниз, а также, знаете, все остальные тела, похоже, тоже падают вниз». Все знают, что все тела падают вниз. Это экспериментальный факт. Но доказать этот факт, в принципе, невозможно. Никто на свете не гарантирует, что завтра этот закон не прекратит действовать. Придумают какую-нибудь гравицапу, и всё полетит не вниз, а вверх. Это — физический закон, он не может быть доказан. Он может быть только проверен очень много раз. Еще хуже с социальными и экономическими законами, например, с законом «спрос рождает предложение». У экономистов много таких заклинаний. И они очень часто не работают. Наступает кризис, наступает новая фаза развития социума — и всё. Перестают быть верными старые законы. Социальная реальность постоянно ломает стереотипы, которые связаны с ее поведением, развитием, эволюцией. Физическая реальность так не делает, но тем не менее доказательств в ней тоже нет.
В нашем случае с доской мы, в принципе, можем попробовать перебрать все варианты и сделать вывод — не получилось. Но сколько времени нам нужно будет потратить? Давайте примерно оценим. Сколькими способами можно положить первую доминошку?
Слушатель: Тремя.
А.С. (показывая на доске 8 x 8 различные положения кости домино): Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять…
Слушатель: Двумя.
Слушатель: Тридцатью.
А.С.: Ну, тридцатью — хорошо. А почему двумя?
Слушатель: Вертикально и горизонтально.
А.С.: Это два способа ее расположения. А сколько положений на самой доске она может занять?
Слушатель: Кучу.
А.С.: Очень-очень много. 30 — это довольно хороший ответ. На самом деле около 50. Давайте исходить из 50. На самом деле не важно, что 30, что 50, даже 10. Потому что после того как мы положили первую такую фишечку, сколько способов остается для второй?
Слушатель: (n − 1).
А.С.: Грубо говоря, 49. Еще, на самом деле, надо учесть порядок, в котором мы положили доминошки. Нужно поделить на два. То есть 50 умножим на 49 и поделим на два.
Дальше кладем третью, четвертую и так далее. И каждый раз домножаем и домножаем — количество вариантов очень быстро растет. (Показывает на доске всё новые варианты.)
Есть миф, будто математика состоит из формул. В 1993 году, когда я учился на 3-м курсе мехмата, я ехал на Урал к тете. Со мной в купе ехала мама с маленькой 4-летней дочкой. И дочка говорит: «Мама, а можно почитать дядину книгу?» Книга моя называлась «Алгебра». Мама сказала: «Ты в ней ничего не поймешь, там одни формулы». Я передаю книгу и говорю: «Найдите первую формулу. На какой она странице?» Формул в книге по алгебре не очень много, и самое страшное не в их количестве, а в том, что они ужасающие, в них одни буквы, даже цифр почти нет. Это, скорее, похоже на какой-то древний язык. Совершенно не то в книге, что должно быть с точки зрения людей. Идея, что математика состоит из формул, столь же чудовищна, как мысль, что в храм люди заходят, чтобы просто совершить обряд, поставить свечку. Моя дочь говорит, например: «Пойдем, поставим огоньки». Для нее это нормально, она маленькая. Математика — это вселенная, в которой есть язык формул. Но суть не в нём, а в том, какие глубинные законы есть в математике. И вот эти законы, эту внутреннюю красоту я постараюсь вскрыть.
После такого философского отступления вернемся к нашей доске.
Произведение, которое получится уже через 20 умножений, имеет порядок количества атомов во вселенной (как любят говорить в научно-популярных книгах). Вот с чем сравнимо количество способов, которые нужно перебрать, чтобы заявить: «Мы перебрали все варианты, задачу решить нельзя». Надо придумать что-то другое. И то, что мы сейчас придумаем это абсолютное доказательство.
Может быть, у кого-то есть идеи?
Слушатель: Взять площадь каждой фишки и разделить на нее общую площадь поля.
А.С.: Ничего не выйдет. Общая площадь 62, у каждой фишки 2, значит нужна 31 доминошка, это мы понимаем. Но 30 умещается, а 31 — нет (рис. 6).
Рис. 6. Внимание! На доске уже не квадратики, а «кирпичи»!
Последняя доминошка распадается на два квадратика в разных местах. И что бы вы ни делали,
