Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
А вслед за этим командор улетел в неизвестность.
- Только вот чего я еще не понимаю, - сказал, вздыхая, Илюша.
- Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?
- Видишь ли, - ответил Радикс, - на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы "исчерпывать" ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее "исчерпанию". Такое "исчерпание" конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.
- 221 -
- Как это может быть? - спросил Илюша. - Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма...
- Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.
Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на и равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/n, а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.
- Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей? - спросил Илюша.
- Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π. Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2πr. Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число - назовем его опять n - маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.
Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере.
- 222 -
Однако смысл всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание - длину дужки - на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2πr, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга - πr2. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, - промолвил в заключение Радикс, - можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке...
- В порядке! Ха-ха-ха! - раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.
- Хм! .. - грустно заметил Радикс. - Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?
- Н-не знаю... - неуверенно признался Илюша.
- А не попробовать ли нам сначала? - крикнул Мишка.
- Давай попробуем! - робко сказал Илюша.
И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:
- 223 -
S = a1 (qn - 1) / (q - 1) - a1 / (q - 1) = a1 + a2 + a3 + ... an
- Ну? - вопросительно заявил Мишка.
Мгновенно человечки справа исчезли все, кроме первого, у которого на груди появилась цифра "1". Немедленно в лапке Мишки тоже оказалась единица, а на груди у тощей Суммы появилась та же самая единица.
- Вперед, друзья! - энергично скомандовал Мишка.
Сейчас же вслед за первым человечком появился второй, у которого на груди было число "1/2", в лапке Мишки оказалась уже двойка, а на груди у Суммы появилось не "1", а "1 1/2". Затем появился третий человечек, имя которого было "1/4", и Мишка показал своей лапкой, что это номер третий, а Сумма сложила все три члена, и вышло 1 3/4. Появился еще новый член прогрессии, его звали "1/8". Мишка засвидетельствовал, что это был четвертый номер, а Сумма заявила, что теперь всего выходит 1 7/8. Все было правильно, как заметил Илюша. Затем человечки стали появляться все дальше и дальше, быстро и равномерно выпрыгивая на сцену и мелькая один за другим. Казалось, будто прямо перед тобой проходит лента кинокартины и все понемножку меняется, точно толчками. А вместе с тем все быстрее мелькали номера у Мишки в лапке и менялось число на груди у Суммы. Но самое интересное заключалось в том, что человечки, что ни дальше, стали появляться все скорей и скорей, и наконец глаз почти перестал замечать эти толчкообразные изменения картины, а просто казалось, что длинная-предлинная вереница членов прогрессии все удлиняется и удлиняется. А дальше уже стало казаться, что просто куда-то очень-очень далеко вправо растет длинненькая тоненькая ниточка, и уж нельзя было разобрать, что она состоит из человечков, которых делается все больше и больше... Наконец Мишка взмахнул лапкой и сказал: "Всё!"
Сумма с облегчением вздохнула. На груди ее красовалась цифра "2".
Илюша засмеялся.
- А теперь, - сказал он, - обязательно расскажи мне про бочки, про Великого Механика, про яблоки и веретена и вообще...
- Постой, постой! - сказал Радикс. - Не все сразу! Я должен указать еще тебе, наконец, - и прошу это запомнить всерьез и как следует! - что эта картина приближения к пределу не является единственным объяснением явления предела, есть и другие, не менее, а даже более важные. Но она сравнительно проста и для нас с тобой вполне удовлетворительна. А теперь мне нужно задать тебе еще два-три вопросика, а потом мы пойдем с тобой в гости к двум моим приятелям, которые нас угостят, накормят и напоят чудным кваском.
- 224 -
Скажи, пожалуйста: тебе никогда не приходило в голову, для чего применяются в геометрии формулы?
- Чтобы вычислить что-нибудь, ну, например, длину какого-нибудь отрезка или площадь какой-нибудь фигуры...
- Ты говоришь мне о том применении формул в геометрии, с которым тебе до сих пор приходилось иметь дело. Это естественно. Геометрия ведь и родилась из задач по измерению земли, как указывает ее название. Но ведь, кроме размеров фигуры, нас может интересовать и ее форма. Не правда ли?
- Да, конечно.
- А ты никогда не думал, - продолжал его наставник, - нельзя ли с помощью формул определить также вид или форму какой-нибудь линии?
- Не знаю, - ответил Илюша. - Я не совсем понимаю: как это так определить форму? В каком смысле?
- Вот, например, так. Ты, конечно, знаешь, что такое прямая? Попробуй определи мне прямую как геометрическое место.
- Ну, это нетрудно, - отвечал Илюша. - Вот, например, биссектриса. Она прямая, и вместе с тем она есть геометрическое место точек, лежащих внутри данного угла и равноотстоящих от двух его сторон.
- А если рассматривать окружность?
- Окружность есть геометрическое место точек, равноотстоящих от центра, то есть от данной точки.
- Правильно! Но вот ты видишь, что эти два определения дают тебе две линии различной формы. Следовательно, при помощи старинного понятия геометрического места ты можешь определять кривые, различные по форме. Так как на свете очень много кривых линий, а прямая только одна, то мы ее тоже будем причислять к кривым, а потом выясним, как выделить ее из них. Ты узнаешь далее, почему люди так заинтересовались определением именно формы кривых. Но вот еще что: давай нарисуем прямой угол и проведем его биссектрису.
