Генри Дьюдени - Кентерберийские головоломки
– Так они содержали то же количество спаржи?
– Напротив, вы оба были неправы, и вы ему слишком много переплатили. Вы получили лишь половину того количества, которое было в большом пучке, и, следовательно, вам надлежало заплатить лишь половину прежней суммы, а не переплачивать сверх нее.
Да, это было скверное мошенничество. Круг, длина окружности которого вдвое меньше длины окружности другого круга, обладает по сравнению с последним в 4 раза меньшей площадью. Следовательно, 2 маленьких пучка содержали спаржи в 2 раза меньше, чем большой пучок.
– Мистер Филкинс, можете ли вы ответить вот на какой вопрос? – начал Билли. – В соседней деревне живет человек, который каждое утро за завтраком съедает по два яйца.
– Не вижу в этом ничего особенного, – вставил Джордж. – Если бы два яйца съедали по человеку, это было бы интересно.
– Не перебивай мальчика, Джордж, – сказала его мать.
– Ну так вот, – продолжал Билли, – этот человек не покупает, не занимает, не выменивает, не выпрашивает, не ворует и не находит эти яйца. Он не держит кур, и ему не дают эти яйца. Как же он их получает?
– Быть может, он их меняет на что-нибудь еще? – спросила Милдред.
– Это бы значило их выменивать, – ответил Билли.
– Может быть, их ему посылают друзья? – предположила миссис Олгуд.
– Я же сказал, что их ему не дают.
– Я знаю, – сказал Джордж уверенно. – Чужая курица пришла к нему в дом и снесла их.
– Но это значило бы, что он их нашел, разве не так?
– Не взял ли он их на прокат? – спросил Реджинальд.
– Если так, то он не смог бы их вернуть после того, как съел, а это значило бы, что он их украл.
– Может быть, собака зарыта в слове «класть», – сказал мистер Филкинс. – Кладет ли он их на стол?
– Сперва он должен их получить, не так ли? Вопрос был, как он их получает?
– Сдаемся! – сказали все за столом. Тогда маленький Билли перебрался под защиту своей матери, ибо Джордж был способен в подобных случаях на грубые поступки.
– У человека были утки, – крикнул он, – и его слуга собирал яйца каждое утро!
– Но ты сказал, что он не держит домашнюю птицу! – запротестовал Джордж.
– Я не говорил; правда, мистер Филкинс? Я сказал, что он не держит кур.
– Но он их находит, – сказал Реджинальд.
– Нет; я сказал, что их находит его слуга.
– Ну тогда, – вставила Милдред, – его слуга дает их ему.
– Вы же не можете давать человеку его собственность?
Все согласились, что ответ Билли вполне удовлетворителен.
Решения
Кентерберийские головоломки
1. 8 кругов сыра можно переложить на крайний табурет за 33 хода, 10 сыров – за 49 и 21 сыр – за 321 ход. Ниже приведен общий метод решения для случаев с тремя, четырьмя и пятью табуретами.
Составим следующую таблицу, которую можно продолжить для любого нужного нам числа сыров.
Первая ее строка содержит натуральные числа. Вторая строка получается сложением чисел первой строки с начала до данного места. Числа третьей строки получаются аналогичным путем из чисел, стоящих во второй строке. Четвертая строка состоит из последовательных степеней числа 2 минус 1. Следующие две строки получаются удвоением числа, стоящего в данной строке, и добавлением к произведению числа из предыдущей строки, которое стоит над тем местом, где выписывается результат. Эта таблица дает одновременно решения для любого числа сыров и трех табуретов, для треугольных чисел и четырех табуретов и для пирамидальных чисел и пяти табуретов. В этих случаях метод решения (складывание сыров в стопки) всегда только один.
В случае трех табуретов первая и четвертая строки таблицы говорят нам, что 4 сыра можно перенести за 15 ходов, 5 – за 31, 7 – за 127 ходов. Вторая и четвертая строки показывают, что в случае четырех табуретов 10 сыров можно переложить за 49, а 21 – за 321 ход. Точно так же в случае пяти табуретов мы находим из третьей и шестой строк, что для 20 сыров требуется 111 ходов, а для 35 – 351 ход. Но из таблицы мы, кроме того, можем определить и нужный способ перекладывания сыров. Так, например, в случае четырех табуретов и 10 сыров предыдущий столбец указывает на то, что мы должны образовать стопки из 6 и 3 сыров, для чего потребуется соответственно 17 и 7 ходов. А именно: сначала мы складываем 6 наименьших сыров за 17 ходов на один из табуретов; затем мы складываем 3 следующих сыра на другой табурет за 7 ходов; далее мы перекладываем самый большой круг сыра за 1 ход; затем перекладываем 3 сыра за 7 ходов; и наконец мы перекладываем 6 сыров за 17 ходов, что в сумме и составляет 49 ходов. Точно так же нам известно, что в случае пяти табуретов 35 сыров следует сложить в стопки из 20, 10 и 4 сыров соответственно, для чего потребуется 111, 49 и 15 ходов.
Если в случае четырех табуретов число сыров не треугольно, а в случае пяти табуретов – не пирамидально, то решений будет больше одного и потребуются дополнительные таблицы. Именно так обстоит дело в случае 8 сыров Мажордома. Но я предоставляю самому читателю обобщить решение нашей задачи на этот случай.
2. На рисунке показано, каким именно образом Продавец папских индульгенций, отправившись из обозначенного штриховкой города, сумел посетить все другие города ровно по одному разу за 15 переходов.
3. Нужно разместить мешки следующим образом: 2, 78, 156, 39, 4. Здесь каждая пара, умноженная на своего единственного соседа, дает число, стоящее в середине, причем пришлось передвинуть пять мешков. Существует ровно три других расположения мешков (4, 39, 156, 78, 2; или 3, 58, 174, 29, 6; или 6, 29, 174, 58, 3), но при этом требуется передвинуть семь мешков.
4. Рыцарь сказал, что на его щите можно отметить 575 квадратов с розой в каждом углу. Как получился такой результат, становится понятным, если обратиться к рисунку.
Соединив A, В, С и D, можно образовать 66 квадратов такого размера; размер A, E, F, G приводит к 48 квадратам; A, H, I, J – к 32; В, К, Z, M – к 19; B, N, O, P – к 10; В, Q, R, S – к 4; Е, T, F, C – к 57; I, U, V, P – к 33; H, W, X, J – к 15; K, Y, Z, M – к 3; Е, a, b, D – к 82; H, d, M, D – к 56; H, e, f, G – к 42; K, g, f, С – к 32; N, h, z, F – K 24; К, h, m, b – к 14; К, О, S, D – к 16; K, n, p, G – к 10; К, q, r, J – к 6; Q, t, р, С – к 4; наконец Q, u, r, i приводит к 2 квадратам. Таким образом, общее число квадратов равно 575, Эти группы можно истолковывать так, как если бы каждая представляла квадрат отличного от других размера. Это верно, за одним исключением: квадраты группы B, N, О, Р имеют точно такой же размер, как и квадраты группы K, h, m, b.
5. Добрая женщина объяснила, что затычка, плотно загнанная в бочку, тем похожа на только что выпавшую, что обе они затыкают ничего; первая – ничего в смысле неплохо, а вторая – ничего в смысле ничего не затыкает. Маленькое недоразумение с родственниками легко разрешится, когда нам скажут, что родительский приказ исходил от отца (который также находился в этой комнате), а не от матери.
6. Головоломка, предложенная веселым хозяином харчевни «Табард» из Соуерка, оказалась более популярной, чем головоломки остальных паломников.
– Я вижу, любезные господа мои, – воскликнул он, – что здорово задурил вам голову своей маленькой хитростью. И все-таки для меня не составляет труда налить ровно по одной пинте в каждую из мер, одна из которых вмещает пять, а вторая – три пинты, не пользуясь никакими другими мерами.
Такими словами Трактирщик начал объяснять паломникам, как именно можно выполнить это на первый взгляд невыполнимое задание. Тут он наполнил обе меры, а затем, отвернув кран бочки, позволил пиву выливаться на пол (против чего вся компания энергично запротестовала; но хитроумный хозяин сказал, что он совершенно уверен – в бочке не многим более восьми пинт). (Уместно заметить, что количество вылившегося зля не влияет на решение головоломки.) Потом он закрыл кран и перелил содержимое 3-пинтовой меры назад в бочку. Далее Трактирщик наполнил эту меру из 5-пинтовой и вылил из нее пиво в бочку, затем он перелил 2 пинты из 5-пинтовой меры в 3-пинтовую, наполнил 5-пинтовую меру из бочки, оставив таким образом в бочке 1 пинту. Потом он наполнил 3-пинтовую меру из 5-пинтовой, позволил компании выпить содержимое 3-пинтовой меры, наполнил 3-пинтовую меру из 5-пинтовой, оставляя тем самым в 5-пинтовой мере 1 пинту, выпил содержимое 3-пинтовой меры и наконец вылил 1 пинту из бочки в 3-пинтовую меру. Таким образом, к величайшему изумлению и восхищению паломников, в каждой мере оказалось ровно по 1 пинте эля.
7. На рисунке показано, как именно следует разрезать квадрат на четыре части и как из них сложить магический квадрат. Можно проверить, что сумма чисел в каждой строке, столбце и на каждой диагонали равна 34.
