Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
(a + bc) / (a + b) = (a + c) / a
- Чепуха, и больше ничего! - пробормотал Илюша.
- А я сейчас тебе докажу, что это не чепуха. Подставляю в эти выражения числа и получаю:
(6 + 2•3) / (6 + 2) = (6 + 3) / 6 = 3/2
А коли тебе этого мало, я могу подставить и другие числа.
Пожалуйста:
(2 + 3•6) / (2 + 3) = (2 + 6) / 2 = 4
Вот тебе и все. Просто и ясно. В первом случае сокращаю двойки, во втором - тройки. Совершенно новые горизонты в арифметике! Ну, что же ты на это скажешь, будущий кавалер Ордена Семидесяти Семи Слонов?
- Ну, что тут говорить! - возразил мальчик.
- Как что говорить? Ты оспариваешь мой метод, но ты не можешь оспорить мои бесподобные примеры! Однако в таком случае докажи: каким образом случилось, что примеры мои не противоречат твоей старушечьей арифметике, а мои удивительные принципы находятся с ней в непримиримом противоречии?
Илюша постоял, подумал, поглядел искоса на ехидное личико командора и неуверенно произнес:
- Ну, это вроде того, как доказывается, что два равняется пяти или что-нибудь в этом роде.
- Два равняется пяти?- изумленно повторил командор - В первый раз в жизни слышу! Это неверно. А вот, что одиннадцать равняется двенадцати, - это уж точно.
- Как так? - спросил Илюша, вдруг вспомнив с досадой, что он уже слышал от Радикса что-то про это нелепое равенство.
- 158 -
- Чрезвычайно просто! Чтобы доказать эту несомненную истину, я беру квадраты этих чисел, то есть 121 и 144, затем беру их разность, которая будет 23, и составляю следующее простенькое равенство:
144-121 = 276 - 253,
с которым ты, надеюсь, спорить не будешь. Затем я вычитаю из каждой его части по 155, от чего справедливость равенства не нарушается:
144 - 121 - 155 = 276 - 155 - 253,
делаю частично указанные действия и получаю:
144 - 276= 121-253.
Затем я прибавляю к каждой части получившегося равенства одну и ту же дробь, что опять-таки не нарушит справедливости моего равенства:
144 - 276 + 529/4 = 121 - 253 + 529/4.
Далее я замечаю, что теперь и левая и правая части равенства представляют собой полные квадраты, а следовательно, я могу написать:
(12 – 23/2)2 = (11-23/2)2
Теперь я извлекаю квадратный корень из обеих частей равенства:
12 – 23/2 = 11-23/2
Минус двадцать три вторых слева и справа взаимно уничтожаются, и мы получаем...
Командор снова схватил мел и написал громадными цифрами:
11 = 12
- 159 -
- Что и требовалось доказать. Просто и ясно!
Хотя Илюша уже сообразил, что спорить с командором довольно накладно, ибо каждое лишнее возражение ведет только к тому, что он тебе подсовывает еще новую головоломку, однако тут он догадался наконец, что надо не просто отрицать, а доказать, и всерьез, что командорские россказни просто враки. Он внимательно просмотрел весь ход вычислений этого "доказательства" и сказал:
- Так можно доказать все, что хочешь. А в скобках у вас разные знаки! Вот и вся хитрость. Очень просто.
- Хм... - произнес разочарованно командор, - знаки!
Знаки! Подумаешь, какая важность! Ну, допустим, что знаки. .. Ну, а как же насчет моих дробей?
Илюша вздохнул и уставился снова на командорские дроби.
Наверно, он стоял так молча, не отрывая глаз от них, минут десять. Потом сказал:
- Конечно, это можно сделать. Если записать вот этот первый пример с дробью – 16/64, положив, что шесть равняется а, тогда как четыре равняется b, то получим:
(10 + а)/( 10a + b) = 1/b
А теперь я буду действовать так:
10b + ab = 10а + b;
9b = 10а - ab;
9b = а(10 - b),
и следовательно,
а = 9b / (10 - b)
и теперь получается неопределенное уравнение. Не очень, конечно, удобное уравнение, потому что оно второй степени, но все-таки решить в целых числах можно. В крайнем случае, я буду подставлять цифру за цифрой вместо b, пока а не получится целым числом, не больше девяти. Вот вы это и сделали. И все остальное тоже делается совершенно так же. Вот и все.
- Хм... - протянул Уникурсал Уникурсалыч. - Вот как! Странная история!
- 160 -
- Я знаю гораздо более странную историю, - возразил Радикс, - которая касается того, каких блестящих результатов можно добиться с помощью красноречия.
- Это, наверно, очень интересная история! - воскликнул Илюша, у которого отлегло от сердца, когда он смекнул, что, кажется, на этот раз отделался от командорских ехидств. - Расскажи-ка ее, пожалуйста!
- Дело это тоже происходило довольно давно, - начал Радикс, - и, может быть, это было в той самой стране, о которой нам только что рассказывал Уникурсал Уникурсалыч.
Но только это было еще несколькими веками раньше, чем история со слонами. Итак, некогда прекрасный и светлый юноша, царевич Аритамвара, сын света и радость мира, захотел ввести в дом свой юную жену. Он пришел к отцу своему, который владел подлунным миром и кротко управлял им.
"О царь и повелитель! - сказал царевич. - Я хочу ввести в дом мой молодую и прекрасную царевну, дабы она была супругой моей". - "Хорошо, - отвечал ему царь, - пусть дворцовые женщины введут девушек, и пусть придет наш царский звездочет, владеющий числами: он даст нам добрый совет". Когда все повеления были исполнены, царь сказал:
"Пусть владеющий числами даст нам совет". - "О царь, - отвечал ему мудрец, - пусть будет так: я задам семи девушкам один и тот же простой вопрос, а по их ответам ты, покровитель мудрейших, и ты, благородный Аритамвара, сын света, вы сами увидите, как надобно будет поступить". - "Это поистине мудрые речи, - ответил царь звездочету. - Да будет так". Тут дворцовые женщины избрали из сонма девушек тех, которые были прекраснее всех, самого доброго нрава и чьи речи были сладким медом для храбрецов. А владеющий числами приказал подводить их по одной к трону владеющего подлунной. И вот к трону подошла первая. Звездочет спросил ее: "Скажи мне, цветок зари, сколько будет три и три?" - "Шесть", - ответила ему девушка и засмеялась. Тогда владеющий числами приказал увести ее и привести другую. И он задал ей тот же самый вопрос. "Это будет шесть, если я сложу их, - отвечала она, - и это будет тридцать три, если написать их рядом". Третья ответила: "Это будет шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; это будет ничего, если вычесть". Четвертая сказала: "Шесть, если я сложу; тридцать три, если напишу рядом; ничего, если вычту; девять, если умножу". Пятая отвечала: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если умножить; единица, если их разделить друг на друга". Шестая сказала так: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если их перемножить; единица, если их поделить друг на друга, и это будет двадцать семь, если возвести три в третью степень. Так учит великая богиня чисел". Седьмая отвечала звездочету: "Пусть великая богиня чисел откроет сыну света свои прекрасные тайны! Вот как говорит она: это будет шесть, это будет тридцать три, это будет ничего, это будет девять, это будет единица, это будет двадцать семь и это будет тридцать шесть двадцать пятых с небольшим, если я из трех извлеку корень третьей степени. Вот как говорит пресветлая богиня чисел, та, которая улыбается, когда земледелец считает свою скотину, царь свои сокровища, а звездочет светила небесные, что сияют кротким светом и проходят свои небесные пути по чудным законам, которые любезны великой богине. Вот каковы слова благодатной богини чисел, но это еще не все, ибо ее речи суть многие, и все они прекрасны". Тогда звездочет сказал: "О великий царь, и ты, сын света! Вы слышали разные ответы на мой вопрос, и теперь вы можете решить сами, которая из девушек достойна стать супругой царевича". Царь сказал: "Я вижу, что милые и прелестные красавицы моей страны недаром провели свою нежную юность, они знают мудрость, и сердце мое радуется. Пусть сын мой, царевич Аритамвара, выбирает теперь сам, ибо это будет его супруга".
Царевич низко поклонился своему отцу и премудрому звездочету и сказал: "Я выберу первую. Она очень хорошо смеется.
- 161 -
И мне нравится, что она говорит коротко и ясно".
Илюша захлопал в ладоши от восторга, а Уникурсал Уникурсалыч как-то рассеянно повернулся на одной ножке и втихомолку исчез. А Илюша посмотрел на Радикса и спросил:
- Есть еще такие дроби, из которых получается колесо, вроде вот этого из одной седьмой?
- Как не быть! Например, одна семнадцатая. Только там число будет подлиннее, потому что
1/17 = 0,0588235294117647...
То же самое будет и с одной двадцать девятой, только там после запятой будет уже целых двадцать восемь цифр. Для этого знаменатель дроби должен быть простым числом, а период его должен заключать в себе на единицу меньше цифры, чем единиц в ее знаменателе. У тебя была одна седьмая, а в периоде было шесть цифр. Для одной семнадцатой в периоде будет шестнадцать цифр. Такой период называется "полным периодом", или "совершенным".
Илюша помолчал и вдруг сказал с жаром:
- А все-таки он ужаснейший человек, этот командор!
- 162 -
- Да что ты! - усмехнулся Радикс. - Конечно, он насмешник, а все-таки сознайся: если бы он так тебя не запутал и не разозлил, ты бы, пожалуй, не догадался насчет неопределенного уравнения и насчет одной седьмой? А?
