Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике
Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре, Хорхе Луис Борхес писал:
«Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идёт не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идёт о бесконечности».
Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным геометрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в существование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место, которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нём сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство может быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.
В рамках этой логики считалось, что звёзды и планеты движутся по идеальным окружностям, так как их движение непрерывно, и если бы их траектории были прямолинейными, то они были бы бесконечно протяжёнными. Это представление о мире впоследствии перенял Коперник и даже сам Кеплер, которые разделяли эту точку зрения на пространство и бесконечность.
В Элейской школе, к которой принадлежали Парменид (530–460 гг. до н. э.) и Зенон (490–430 гг. до н. э.), реальность, Вселенная не могли иметь начала, а следовательно, и конца. Об этом Парменид писал: «…Всё едино, недвижимо и бесконечно, так как по другую сторону его предела находилась бы пустота». Это заводит нас в тупик, поскольку пугающая бесконечность в этом случае сменяется столь же пугающей пустотой.
Некоторые понятия недоступны нашему пониманию, но тем не менее они существуют. Между страхом абсолютного ничто и страхом бесконечности нет особой разницы. По сути, это две стороны одной и той же монеты, хотя бесконечность обычно представляется более пугающей, поскольку она в некотором смысле ближе к нам. Мы не можем представить, что пространство, в котором мы живём, является конечным. Когда кто-то пытается представить, что наше пространство конечно, сразу возникает вопрос: «А что находится за его пределами?» Ответом не может быть: «Ничто». Там должно находиться другое пространство, пусть и пустое. Ответ на этот вопрос прост. Мы не знаем, что такое «ничто», а бесконечность, порой воображаемая, нас окружает постоянно, переставая быть просто понятием или концепцией. Присутствие бесконечности и сопутствующих ей вопросов во всех культурах ясно говорит о том, что, нравится нам это или нет, она является частью нашей природы, как жизнь, смерть или время.
Согласно Аристотелю, бесконечного пространства не существует. Он считал, что бесконечное пространство может быть занято только бесконечно большим предметом, которого не существует. Этот мраморный бюст Аристотеля является римской копией с греческого оригинала, выполненного в бронзе Лисиппом в 330 г. до н. э.
Потенциальная и актуальная бесконечность
Предположим, что мы проводим на полу прямую линию так, что если мы сделаем шаг вперёд, то перешагнём её. Это потенциально возможное действие. Совершив его и оказавшись по другую сторону линии, мы сделали этот потенциал актуальным.
Существует чёткая разница между потенциально возможным действием и действием совершённым. Например, может случиться так, что я захочу перешагнуть линию, но произойдёт землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не позволит мне сделать этот шаг.
Мы говорим, что последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … является бесконечной. Изначально это никто не подвергает сомнению, поскольку для любого числа n мы всегда можем получить следующее число n+1, сколь бы велико ни было n. Однако одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое — совершить его в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. Возможность совершить действие определяет потенциальную бесконечность, а результат такого действия — актуальную бесконечность. Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или, по меньшей мере, не до конца понятны. Возможно, более уместно (но также не совсем удобно) было бы называть потенциальную бесконечность теоретической, а актуальную — истинной бесконечностью.
Никто не может записать все целые числа — это неоспоримый факт. Так же верно, что никто никогда не видел две параллельные прямые, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь их отрезки. Значит ли это, что параллельных прямых не существует? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей известной книге «Начала» пытался рассматривать эту тему, поскольку, упоминая о прямых, он говорил об отрезках, чья длина может быть произвольно большой. Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.
Принятие актуальной бесконечности — не просто вопрос выбора, вкуса или предпочтений. Это нетривиальная философская задача. Следует учитывать, что в математике (и в науке вообще) до конца XIX века признавалось существование только потенциальной бесконечности. В философской школе Аристотеля был негласный запрет на использование актуальной бесконечности.
«Невозможно чтобы бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция и первоначало, — писал он и добавлял: — А что много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, — [это тоже] очевидно», поскольку бесконечность «существует потенциально […] благодаря прибавлению или делению».
Так, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз.
Мы задали перечисленные ниже вопросы о бесконечности обычному человеку, не имеющему специального математического или философского образования. Отвечать требовалось быстро, не раздумывая, в соответствии со «здравым смыслом», который является отражением наших культурных представлений.
* * *БЕСКОНЕЧНОСТЬ И ОТЦЫ ЦЕРКВИ
В Средневековье споры об актуальной бесконечности не могли вестись в математической плоскости, поскольку бесконечность считалась свойством исключительно божественного и, следовательно, о ней могли рассуждать лишь богословы. Как говорил Аврелий Августин, «бесконечен лишь Бог и его мысли». Удивительно, но несмотря на это церковные сановники отрицали, что Бог способен создать актуальную бесконечность. Фома Аквинский в своём труде «Сумма Теологии» показал: хотя Бог всемогущ и бесконечен, он не может создать нечто абсолютно безграничное. Этот вывод можно оправдать, только если признать, что актуальная бесконечность в богословии равносильна абсолютному злу.
* * *Вопрос: Что такое бесконечность?
Ответ: Что-то, что никогда не заканчивается.
Вопрос: И что это означает?
Ответ: Что её части можно пересчитывать бесконечно долго.
Вопрос: Почему счёт никогда не закончится?
Ответ: Потому что последнего числа не существует.
Вопрос: Откуда вы знаете?
Ответ: Я не могу это доказать. Я в это верю.
Вопрос: Иными словами, речь идёт о вере.
Ответ: Не совсем. Я знаю, что каким бы большим ни было число, я всегда могу прибавить к нему другое число.
Вопрос: Я не согласен с этим. Даже если всю жизнь вы будете заниматься исключительно подсчётами, ваша жизнь конечна, и вы не сможете складывать числа неограниченное время.
Ответ: Это не важно — подсчётами могут заниматься несколько поколений людей.
Вопрос: Но жизнь на Земле также не вечна. Даже время существования самой Солнечной системы чётко отмерено.
