Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

Последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. образуется по следующему правилу: если принять первое число Фибоначчи, a1, равным 0, второе число, a2, равным 1, то каждое последующее число будет определяться как сумма двух предыдущих. Иными словами, аn = аn-1 + аn-2. Любопытно, что числа Фибоначчи описывают количество лепестков цветов, расположение чешуек шишек и листьев растений.

Число спиралей на этой шишке в каждом направлении (8 и 13 соответственно) выражается последовательными числами Фибоначчи.

Эта особенность растений получила название филлотаксиса Фибоначчи. Так, числа Фибоначчи описывают расположение листьев растений, при котором их освещенность будет оптимальной. Представьте, что лист соперничает с соседними за доступ к солнечному свету. Каким будет оптимальное расположение листьев, обеспечивающее наибольшую освещенность каждого листа? Ответ дает последовательность Фибоначчи.

Продолжив исследования, Тьюринг совершил свое самое знаменитое открытие в этой области — он создал математическую модель «реакция — диффузия». Свои идеи ученый изложил в статье «Химическая основа морфогенеза», опубликованной в престижном научном журнале Лондонского королевского общества в 1952 году. Тьюринг был математиком, а не биологом, поэтому он попытался объяснить интересовавшее его явление с помощью дифференциальных уравнений. Он задался вопросом: каким образом в однородной ткани клеток, в зачаточном состоянии очень похожих друг на друга, например клеток кожи позвоночных, образуются полоски или пятна? С биологической точки зрения эти полоски или пятна — проявление различий между пигментными и непигментными клетками. Как следствие, полоски на шкуре зебры будут результатом нарушения изначального единообразия зародышевых клеток кожи.

Тьюринга интересовал биологический механизм, ведущий к появлению подобных узоров. Ученый предполагал, что полученный узор представляет собой нестабильное состояние, поскольку стабильным состоянием является единообразие зародышевых клеток без характерного узора. С помощью компьютера Ferranti Mark I Тьюринг провел ряд экспериментов по моделированию и доказал, что полученный узор на коже зависит от значений параметров математической модели.

Полоски на шкуре зебры — один из примеров, описываемых уравнениями «реакция — диффузия» Тьюринга.

Параметр математической модели — это значение, соответствующее какому-либо свойству, которое нельзя оценить напрямую, в ходе наблюдений. Тьюринг выявил несколько закономерностей, очень похожих на те, что описывают распределение щупалец гидры или расположение лепестков цветка. Предположив, что клетки имеют круглую форму, Тьюринг смоделировал многоклеточный зародыш — бластулу.

Бластула — один из этапов развития зародыша, на котором уже можно заметить появление узоров. Тьюринг изучил зародыши амфибий и ежей, которые сегодня благодаря своим особым свойствам широко используются в качестве моделей при изучении морфогенеза. Ученый предположил, что узоры образуются в результате процессов реакции — диффузии. Согласно его гипотезе, в зародышевой ткани, то есть в группе клеток, сгруппированных на плоскости, будут присутствовать пигментные клетки, продуцирующие вещество морфоген. Как только молекулы этого загадочного вещества распространятся в результате диффузии по зародышевой ткани, они вступают между собой в реакцию. Распределение продуктов этой химической реакции определяет так называемое поле концентраций — отпечаток, согласно которому и формируется узор зародышевых клеток. Следовательно, полоски, пятна и любые другие узоры, которые мы можем увидеть на шкуре животных, есть не более чем реплики поля концентраций. Мы не будем рассматривать знаменитые уравнения реакции — диффузии Тьюринга во всех подробностях, а только приведем их:

Эти выражения объясняют, как с течением времени изменяется объем или концентрация двух веществ, предложенных Тьюрингом, которые он назвал морфогеном-активатором (МА) и морфогеном-ингибитором (М1). Как мы уже отмечали, эти два вещества производятся только пигментными клетками. В свою очередь, f(МА, М1) и g(МА, М1) — две функции, обозначающие реакцию между активатором и ингибитором, а выражения  и  указывают, как эти два класса морфогенов распространяются по ткани. Так, когда морфогены высвобождаются пигментными клетками, начинается процесс их диффузии, подобный диффузии песчинок сахара в стакане с водой. По Тьюрингу, морфоген-активатор стимулирует воспроизводство себя самого и морфогена-ингибитора. Еще одна любопытная особенность этой реакции заключается в том, что морфоген-ингибитор распространяется на большее расстояние, чем морфоген-активатор. Расстояния, на которые распространяются морфогены, зависят от DА и D1 — коэффициентов диффузии морфогенов — активатора и ингибитора соответственно.

В 1954 году, в возрасте 41 года, Алан Тьюринг покончил с собой. Так оборвалась жизнь одного из величайших ученых XX века. Его гениальность доказывает и тот факт, что химические вещества, существование которых он предсказал математически (так называемые морфогены), были открыты экспериментально лишь много лет спустя, в начале 1990-х. Кроме того, некоторые узоры из изученных Тьюрингом на компьютере Ferranti Mark I были обнаружены на чешуе рыбы полукруглый ангел, или Pomacanthus semicirculatus. В настоящее время морфогенез — одна из областей математической биологии, и удивительным путем, на который первым вступил Алан Тьюринг, проследовали такие видные ученые, как Мюррей, Мейнхардт и другие.

* * *

ЖИЗНЬ — ЭТО ИНФОРМАЦИЯ

За год до кончины Тьюринга, в 1953 году, Уотсон и Крик предложили спиралевидную модель ДНК. Ранее Джон фон Нейман и Алан Тьюринг, предвосхитив создание этой модели, писали: «Жизнь — это информация». Тем не менее модель ДНК, которая сегодня принимается всеми учеными, в свое время произвела фурор. Ее цепочка образована четырьмя азотистыми основаниями, которыми кодируются гены: А — аденин, Т — тимин, Г — гуанин и Ц — цитозин.

Параллельно с этим произошло еще одно важное событие — появилась информатика как наука. В компьютерах используется двоичная система счисления, и это означает, что вся информация кодируется последовательностями, состоящими всего из двух цифр, 0 и 1. Как следствие, компьютер — это машина, с помощью которой можно естественным образом исследовать жизнь, открывать ее элементы, проникать в тайны тончайших ее механизмов и делать прогнозы. С момента создания компьютер стал инструментом, позволившим установить тесную взаимосвязь между математикой и биологией. Со временем вычислительный подход, основанный Тьюрингом, не только способствовал укреплению этой взаимосвязи, но и привел к слиянию биологии и математики в новую дисциплину — математическую биологию.

Молекула ДНК, описанная Уотсоном и Криком в 1953 году.

* * *

Начиная с 1950—1960-х годов в математических исследованиях живых существ и жизни в целом, проводимых с помощью компьютеров, предполагалось, что растения, животные и микроорганизмы находятся в так называемом стационарном состоянии, и эта стабильность возможна благодаря механизмам саморегуляции, или гомеостаза. Чтобы поддерживать саморегуляцию, живым существам требовалось тратить большое количество энергии. Важность гомеостаза в биологии привлекла внимание ученых уже в 1940-х годах благодаря передовым исследованиям британского ученого Уильяма Росса Эшби. К примеру, организм человека естественным образом стремится к содержанию в крови определенного количества глюкозы. При ее избытке поджелудочная железа вырабатывает инсулин, при недостатке — глюкагон. Иными словами, для сохранения стабильности телу нужно постоянно работать.

При изучении жизни с математической точки зрения по возможности предполагается, что изучаемое явление имеет так называемое линейное поведение. Линейные системы изучать проще всего, так как их общее состояние или поведение на математическом языке описывается как сумма состояний или поведений частей такой системы. Представим себе примитивное живое существо (назовем его z), настолько простое, что оно имеет всего два органа — х и у. Если мы обозначим физиологические состояния х и у через f(х) и f(у), то жизненное состояние организма f(z) будет равно сумме состояний его органов: f(х) + f(у). В стационарном состоянии производная f(z) будет равна 0. Иными словами, математическая функция, описывающая жизненное состояние организма, не будет ни возрастать, ни убывать.