Яков Перельман - Живой учебник геометрии
Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило).
Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.
§ 87. Таблица синусов и косинусов
Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30 , и т. п.
Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20 ? 0,57 = 11 кг.
Применения
109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла.
Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°.
110. Боковая сторона равнобедренного треугольника -
96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание.
Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53.
111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см.
Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/AB= BD/57 = sin 47°
откуда BD = 57 ? 0,68 = 39 см.
Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения
D/AB= BD/57 =Sin BAD = Sin [180° – 125°] = Sin 55° = 0,57, откуда BD= 32 см.
112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).
Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора.
Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236.
113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A= 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их.
Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.
114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).
Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).
115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.
Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4?
Следовательно, задача сводится к предыдущей.
116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника.
Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна ??24?31 ?sin 68°
Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.
Повторительные вопросы
Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotgэтих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tgострого угла и cotgдополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tgкоторого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tgили cotg.
Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sinи cosнескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sinи как изменяется cosпри изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.
XV. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕЛАХ
В §§ 34–37 и 40 мы познакомились с правилами вычисления поверхности и объема призм и цилиндра. Теперь рассмотрим несколько других тел, часто встречающихся на практике: так наз. «пирамиды», «конусы» и «шары».
§ 88. Пирамида. Ее боковая поверхность и объем
Пирамидой называется тело, ограниченное с одной стороны треугольником или каким-нибудь многоугол ьником (о с н о в а н и е пирамиды), а со всех других сторон – треугольниками, сходящимися в одной точке (в вершине пирамиды). Перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к ее основанию, называется ее высотою (прямая называется п е р п е н д и к у л я р н о й к п л о с к о с т и, если она составляет прямые углы с каждой прямой, проведенной в этой плоскости через точку встречи). Если основание пирамиды – треугольник, пирамида называется «треугольной», если четырехугольник – «четырехугольной» и т. д. На черт. 238 изображены треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
Если мы начертим развертку какой-нибудь пирамиды (сделайте это), то установим способ вычисления ее б о к о в о й поверхности: надо вычислить площадь каждой боковой треугольной грани и все эти площади сложить. В том случае когда все боковые грани одинаковы (такая пирамида называется п р а в и л ь н о ю), вычисление упрощается: определяют площадь одной треугольной грани и умножают ее на число граней. Например, боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды равна 6 ? al/2 =3al,
где a– сторона шестиугольника, лежащего в основании пирамиды, а l – высота каждой треугольной грани; она называется «апофемой» правильной пирамиды. Для правильной пирамиды о nгранях боковая поверхность равна n ? al/2 = nal/2
Так как па – есть сумма сторон основания пирамиды, т. е. ее периметр, то правило вычисления боковой поверхности правильной пирамиды можно словесно высказать так:
