Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики
Когда началось брожение математических умов, вызванное обнаружением парадоксов теории множеств и лозунгами Брауэра, Гильберт вновь вернулся к проблемам обоснования математики. Надо было продолжить работу с того пункта, на котором она была закончена, перейти к отысканию способов доказательства непротиворечивости арифметики. Но почему Гильберт рассматривал такое доказательство как решающий аргумент против интуиционизма?
Это было связано с его теорией «идеальных элементов» в математике. Гильберт принимал, что бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему в данном случае не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, они введены нами для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать о комплексных числах, встречающихся в уравнениях прогиба стержней. Комплексные числа не описывают непосредственно стержня, но, появляясь в промежуточных стадиях вычисления, сокращают путь решения задачи, делают решение лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области «воображаемых» объектов — «идеальных элементов». Мы сможем без опаски пользоваться этими элементы ми, если докажем раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию[13]. И тогда не нужно искать никакой «изначальной индукции» разума или других столь же туманных источников надежности математики. Ее надежность — это ее непротиворечивость, другие требования просто лишены смысла.
Попробуем проследить идейные основы концепции идеальных элементов» Гильберта.
Воспитанный в немецком университете профессорами, целиком принадлежавшими к поколению, считавшему теоретико-множественное мышление идеалом строгости, он и сам впитал смолоду этот образ мышления. Канторовская теория множеств рисовалась ему одним из величайших завоеваний человеческого гения. «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор», сказал Гильберт[14], осуждая попытки Брауэра я его учеников «развалить» математику.
Но Гильберт уже не верил в существование в каком-то «царстве идей» множеств множеств множеств. Гильберт просто считал, что такие понятия полезны для математики, в могуществе которой был глубоко убежден. В конце вступительной части своего исторического доклада о проблемах математической науки он произнес вдохновенные слова: «мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus»[15]. Это был прямой вызов агностическим установкам в науке, так как выражение ignorabimus—«мы не будем знать» (лат.) было сказано физиологом Э. Дюбуа-Реймоном о некоторых нерешенных проблемах (касающихся взаимоотношения физиологического и психического).
Новаторство Гильберта проявилось как в том, что он объявил теоретико-множественные построения лишь вспомогательными элементами науки, так и в подробно развитом им подходе к основаниям математики, получившем название гильбертовского формализма и финитизма. Познакомимся с основным тезисом гильбертовского формализма из уст его автора.
Гильберт считал, что в качестве предварительного условия для осуществления логических умозаключений и выполнения логических операций в человеческом представлена уже должны быть даны определенные внелогические конкретные объекты — даны наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления. «Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении. Это — та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых... непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем»[16].
Если глубоко вдуматься в это программное заявление, мы увидим, что перед нами, несомненно, плодотворный тезис. По существу, Гильберт утверждает здесь, что мышление, научная работа нуждаются в системе знаков, на которые могут опереться логические рассуждения. Знаки — внелогическая категория, утверждает Гильберт. В самом деле, ведь это материальные объекты, состоящие из засохшей типографской краски, из микроскопических ракушек, образующих мел, и т. п.
Они могут отображаться в представлении, в сознании, но в этом случае они выступают в качестве образов тех же материальных объектов. Для научного мышления представляют ценность не любые знаки, а такие, которые человек может уверенно отличать друг от друга или, наоборот, отождествлять друг с другом — только в этом случае их можно использовать для построения теории.
По поводу формализма Гильберта возникало немало недоразумений и неправильных его трактовок, поэтому мы дадим слово великому математику еще раз. Главное обвинение, которое бросали Гильберту в то время, состояло в том, что он будто бы превращает математику в пустую игру символов и тем самым исключает ее из факторов человеческой культуры. Вот что он отвечал по этому поводу:
«Эта игра формул допускает, что все содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы, отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что при ее развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью одних только умозаключений, не вводя при этом дальнейших условий, то есть. на основании чистой игры формул. Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы»[17].
Было бы неправильным усматривать здесь философски неубедительные тенденций. Основная цель науки, по Гильберту, познание мира. Но сущность вещей не лежит в их «верхнем слое», непосредственно открытом чувственному восприятию. Поэтому методологически, неправильно каждую отдельную формулу и каждый отдельный знак «проверять» сопоставлением с действительными объектами. Теория — вещь горазда более сложная, чем простое «фотографирование» объектов. Установив правила работы со знаками с помощью глубинных законов природы или с помощью некоторых» гипотез (которые потом могут быть отвергнуты, если теория: не оправдает себя), на следующем этапе работы мы можем отвлечься: от внешней реальности, вернее, рассматривать в качестве реальности уже не окружающую природу, а саму знаковую систему с ее правилами, каковые, хотя и были установлены нами самими», теперь предстают перед нами как объективная: данность»
Чтобы лучше пояснить сущность гильбертовской идеи «игры в символы», проведем такую параллель. В современной практике получили распространение аналоговые электрические машины, с помощью которых исследователи решают многие важные проблемы. Принцип действия таких устройств состоит в том, что параметры электрических цепей (омического сопротивления, индуктивности, напряжения; и т. д.) подобраны так, что изменение тока или напряжения во времени оказывается подчиненным тем же законам, которые, по предположению, управляют некоторым физическим или технологическим процессом.
Придав параметрам исходные значения, затем предоставляют развиваться электрическим процессами смотрят, что получится в результате. Это — электрическое моделирование неэлектрического (а, скажем, механического или теплового) процесса. В этом случае никто не будет настаивать, чтобы мы истолковывали токи или напряжения содержательным образом на каждом этапе исследования. Запустив машину, исследователь некоторое время имеет дело только с происходящими в ней электрическими явлениями. Если бы он отказался от такой методики и подвергал все промежуточные значения параметров мелочной проверке и сопоставлению с моделируемым процессом, это могло бы принести только вред (он мог навязать машине свои представления об изучаемом явлении, которые могли бы оказаться ошибочными). Гильбертова методика знакового моделирования ничем, в сущности, не отличается от обрисованной нами сейчас методики электрического моделирования. Роль токов и напряжений, измеряемых с помощью приборов, а в конечном счете — с помощью человеческого глаза, смотрящего на шкалу прибора, у Гильберта играют знаки, опознаваемые и различаемые математиком, а в роли условий, определяющих характер электрического процесса в аналоговой машине, выступают аксиомы и правила вывода одних знаковых комбинаций из других, предварительно установленные на основании некоторых разумных соображений и в дальнейшем ни в коем случае не нарушаемые. Впоследствии мы увидим, какую существенную роль играет знаковое моделирование в кибернетике.
