Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические линии, формы, длины кривых и расстояния.

Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например величины углов и геодезические линии.

Аналогично треугольнику на плоскости, который определяется как область, ограниченная тремя попарно пересекающимися прямыми, точки пересечения которых не лежат на одной прямой, сферический треугольник определяется как часть сферы, ограниченной тремя дугами попарно пересекающихся больших кругов, при этом точки пересечения не лежат на одном большом круге. Так как рассматриваемые нами проекции сохраняют геодезические линии, то проекцией сферического треугольника будет треугольник на плоскости. Поскольку эти проекции конформны, они сохраняют величины углов треугольников и их сумму. Из классической геометрии известно, что сумма углов треугольника равна π (180°). Чему будет равна сумма углов сферического треугольника? Будет ли она также равна π (180°), как и следовало ожидать?

Рассмотрим конкретный пример. Представим сферический треугольник, образованный дугой меридиана, заключенной между Северным полюсом и экватором, и другой, похожей, дугой, отстоящей на угол π/2 (90°) от первой, как

Сферический треугольник, три угла которого равны 90°, следовательно, их сумма равна 270°.

Сумма углов этого сферического треугольника будет равна 3π/2 (270°), а не π (180°), как мы ожидали. Следовательно, не существует проекций сферы на плоскость, которые сохраняли бы величины углов и геодезические линии одновременно. Из этого утверждения следует: не существует изометрических проекций сферы на плоскость, то есть

ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Более того, это утверждение касается не только всей сферы, но и любого ее участка. Локальную изометрию сферы на плоскости построить невозможно, следовательно, точную карту даже малой части земной поверхности построить также нельзя.

Чтобы доказать это, рассмотрим сумму углов произвольного сферического треугольника. Ее значение находится на интервале между π и 3π (не включая границы). Так как каждый сферический угол меньше π, очевидно, что сумма трех углов будет меньше 3π. Мы можем неограниченно приближаться к этому значению: достаточно рассмотреть треугольник, две вершины которого лежат на экваторе, а третья находится вблизи экватора так, что сферический треугольник покрывает почти все полушарие. Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда две вершины треугольника лежат на экваторе, а третья совпадает с Северным полюсом так, что дуги меридианов будут образовывать сколь угодно малый угол. Сумма углов такого треугольника будет близка к π. Можно доказать, что для любого сферического треугольника выполняется равенство:

Площадь сферического треугольника = R2  (сумма углов треугольника — π),

где R — радиус сферы. Так как сумма углов сферического треугольника произвольной формы и размера всегда больше π, не существует проекций участков сферы на плоскость, в которых сохранялись бы углы и геодезические линии. Следовательно, локальные изометрии также не существуют. Ожидания, которые мы возлагали на построение равновеликой конформной проекции, оказались напрасными.

Хотя в разные годы картографы неизменно терпели неудачу в попытках построить идеальную карту Земли, они не могли доказать, что эта задача не имеет решения. Доказательство принадлежит швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, который изложил приведенные выше рассуждения в работе «О представлении сферической поверхности на плоскости«(De repraesentatione superficiei sphaericae super piano), представленной в Петербургской академии наук в 1775 году и опубликованной в 1778 году в «Журнале Императорской Санкт-Петербургской академии наук».

* * *

ФОРМУЛА СУММЫ УГЛОВ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пусть дана сфера радиуса R. Ее часть, заключенная между двумя большими кругами (сферический двуугольник), которые пересекаются под углом α радиан, имеет площадь, равную площади поверхности сферы, взятой α/2π раз, то есть

(α/2π)·(4πR2).

Обозначим вершины сферического треугольника через А, В, С, углы — через α, β и γ. Если мы рассмотрим большие круги, на которых лежат стороны АВ и АС, по приведенной выше формуле получим:

t + a = 2αR2

Аналогично имеем:

t + b = 2βR2 и t + c = 2γR2

Сложив эти три равенства, имеем:

3t + a + b + c = 2R2(α + β + γ).

Получается, что t + а + Ь + с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой вершины, например А, существуют два равных двуугольника с углами α; каждый из них состоит из двух областей площадью t и а). Как следствие,

2t + 2πR2 = 2R2(α + β + γ).

Упростив равенство, получим

t = R2(α + β + γ — π).

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866. В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планировалось, должно было составить 90 томов.

Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие, но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд, посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу не видел парусника своими глазами. С 1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил, что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый ослеп на правый глаз.

В 1741–1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались — монарх дал ученому прозвище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екатерина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отношения. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана именно в этот период.

* * *

Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эйлера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разрежем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости. Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится, в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.

Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например, захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок. Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охватывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выделить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.