Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

* * *

СЕТЬ ХОПФИЛДА

Механизм обучения, запоминания букв, цифр и сигналов светофора можно смоделировать с помощью нейронной сети. Модель памяти, определяемая с помощью тензорного произведения, известна как сеть Хопфилда. Она названа в честь исследователя Джона Джозефа Хопфилда, который представил эту модель в 1980-е годы. Сегодня модель Хопфилда используется в самых разных цифровых системах: не только для решения множества физических задач, но и в электронике, и при обработке изображений.

Модель памяти Хопфилда из восьми нейронов. Каждый нейрон в этой модели связан со всеми остальными.

* * *

Обратные матрицы применяются также для решения систем уравнений. Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

а11х + а12y + а13z = b1

а21х + а22y + а23z = b2

а31х + а32y + а33z = b3

Матрицы также используются для представления систем уравнений:

Это равенство равносильно следующему:

А·X = В.

Если мы найдем матрицу, обратную А, то есть А-1, а затем умножим обе части равенства на эту обратную матрицу:

А-1·А·Х = А-1· В,

то, поскольку произведение А·А-1 равно единичной матрице Е, имеем:

Е·Х = А-1·В.

Кроме того, так как произведение любой матрицы на единичную матрицу Е равно исходной матрице, получим:

Х = А-1·В.

Таким образом, решить систему уравнений, то есть определить значения х, у, z, можно с помощью обратной матрицы коэффициентов: нужно умножить ее на вектор-столбец свободных членов системы уравнений.

Продемонстрируем этот метод на примере под названием «эксперимент энтомолога». Допустим, что мы отправились в поле в поисках определенного вида насекомых и разместили ловушки там, где эти насекомые водятся. Спустя несколько дней мы вернулись к ловушкам, чтобы собрать насекомых. В лаборатории мы установили, что в ловушках оказалось 180 насекомых. Мы разделили их на молодых (обозначим их через х) и взрослых (у) особей. Имеем первое уравнение системы:

х + у = 180.

На основе результатов аналогичных экспериментов, проведенных ранее, мы знаем, что для насекомых этого вида соотношение молодых и взрослых особей равно 2 к 1. Кроме того, в силу естественных причин 6 взрослых насекомых умерло:

2х = у — 6.

Чтобы определить численность молодых и взрослых особей, нужно решить следующую систему уравнений:

х + у = 180,

2х = у — 6.

Второе уравнение можно записать в виде: 2х — у = —6. Система примет вид:

х + у = 180,

2х — у = -6.

В матричной нотации эта система уравнений записывается так:

Имеет ли система уравнений решение?

Проницательные математики имеют одну достойную привычку — они не тратят время на бесполезные действия. Одним из наиболее ярких примеров этому является решение систем уравнений. Рассмотрим все возможные группы систем уравнений.

Во-первых, система может не иметь решений — в этом случае она называется несовместной. Представим, что система состоит из двух уравнений, описывающих две параллельные прямые. Поскольку прямые не пересекаются, система не будет иметь решений. Во-вторых, система может иметь бесконечно много решений, то есть быть неопределенной. Продолжив аналогию с прямыми, такая система состоит из двух уравнений, описывающих две совпадающие прямые, имеющие бесконечно много общих точек. Наконец, если система из двух уравнений описывает прямые, пересекающиеся в одной точке, она называется совместной и определенной. Ее решением будет единственная точка пересечения прямых (х, у).

Рассмотрим систему из трех уравнений, которая в матричном виде выглядит так:

Система является совместной и определенной, если определитель матрицы А

отличен от нуля. Если определитель А равен 0, система будет либо совместной и неопределенной, либо несовместной. К примеру, система уравнений в эксперименте энтомолога в матричном виде будет записываться так:

Поскольку эта система является совместной и определенной, ее можно решить.

И действительно, если мы вычислим определитель

он будет отличен от нуля.

Сколько молодых и взрослых насекомых поймал энтомолог. Правило Крамера

Правило Крамера — это метод решения систем линейных уравнений с помощью определителей. Он был представлен Габриэлем Крамером в 1750 году.

Промежуточный этап решения системы уравнений по правилу Крамера в программе MathLab.

Значения неизвестных определяются путем вычисления определителя для двух типов матриц, Dj и D. Правило Крамера можно использовать только тогда, когда число уравнений равно числу неизвестных, а определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (det(D) не = 0). Объясним правило Крамера на примере эксперимента энтомолога. Система линейных уравнений выглядит так:

Обозначим через D матрицу коэффициентов системы:

Определитель этой матрицы det(D) равен —3. Так как система имеет две неизвестные, х и у, имеем две матрицы Dj: Dx и Dy. Чтобы составить матрицу Dj, нужно заменить j-й столбец матрицы D на вектор-столбец, образованный свободными членами системы:

В нашем эксперименте первой неизвестной является х, поэтому j будет равен 1. Если мы заменим первый столбец матрицы D на вектор-столбец, образованный свободными членами системы, матрица Dx примет вид:

det(Dx) будет равен —174, так как (180)·(—1) — 1·(—6) = —174. Рассуждая аналогичным образом и учитывая, что второй неизвестной является у, то есть j = 2, получим, что матрица Dy имеет вид:

Ее определитель равен —366, так как det(Dy) равен 1·(—6) — 180·2.

Правило Крамера гласит, что решение системы уравнений можно найти, вычислив следующие выражения:

Следовательно, в эксперименте энтомолога получим:

Энтомолог поймал 38 молодых особей (х) и 122 взрослых (у).

Глава 6

Экология и математика. Взаимовыгодное сотрудничество

Живые существа, будь то растения, животные или микроорганизмы, взаимодействуют между собой и с окружающей средой. Биологические организмы, принадлежащие к различным видам, образуют общую природную среду — экосистему. В экосистеме можно выделить некоторые физические факторы, также называемые абиотическими, поскольку они не имеют биологической природы, и биотические факторы, которые относятся к живым обитателям экосистемы. Абиотические факторы — это все факторы, связанные с геологией и климатом: свет, вода, температура, атмосфера и состав почвы. К биотическим факторам относятся растения, травоядные и хищные животные, грибы, бактерии и т. д.

Эрнст Генрих Геккель (1834–1919) первым ввел термин «экология». Справа изображено созданное им «древо жизни».

Экосистемы изучает экология, появившаяся в XIX веке как подраздел биологии. Она преимущественно рассматривает задачи, связанные с многообразием живых существ (биологическим разнообразием), взаимосвязи между живыми организмами и окружающей средой. С момента появления экологии в ней использовались инструменты математической биологии для построения моделей, позволяющих описывать и прогнозировать экологические явления. Это привело к быстрому развитию новой науки и появлению в ней многих понятий и теорий, имеющих математическую основу.