Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- Вот что, друг любезный, - вымолвил довольно сурово встретивший его Радикс, - имей в виду, что у нас здесь очень не любят, когда люди, плохо знакомые хотя бы с тем, что в теории чисел называется "арифметикой целых алгебраических чисел", и с тем, какие возникают затруднения при рассмотрении делимости на "алгебраические числа", начинают заглядываться на теорему Ферма. И не следует так быстро решать, что ты будешь делать в областях, которые тебе пока еще очень мало известны. А насчет теоремы Ферма надобно быть особо осторожным. Дело в том, что формулировка этой теоремы очень проста, и на первый взгляд неопытному человеку кажется, что и вся проблема проще простого, что надо только не быть "ученым педантом" и обладать в небольшой степени тем, что именуется "здравым смыслом", чтобы разобраться и покончить со всей проблемой одним махом. В дальнейшем ты и сам увидишь, что на свете существует немало задач, которые очень просто формулировать, но которые отнюдь не просто решить, и что никакой связи между простотой формулировки задачи и простотой ее решения не имеется.
Укажу тебе еще вот на какое обстоятельство. Я совершенно уверен, что ты забрался в эту книжку главным образом для того, чтобы в дальнейшем ознакомиться с другими, более трудными книжками...
- 95 -
- Да-да! - перебил его Илюша. - Конечно! Вот из-за этого-то...
- Хорошо, - спокойно отвечал ему Радикс. - Я понимаю это. И вполне тебе сочувствую. Но имей в виду, что когда ты доберешься до этих более трудных книжек, то очень скоро убедишься, что в теории чисел, науке вообще очень трудной, существуют уже решенные задачи - кстати сказать, тоже на первый взгляд не очень сложные, - но разобраться в том, как они решаются, и усвоить, какова основная идея решения, может только человек с куда более основательной, подготовкой, чем у тебя, и то не сразу, а после долгих и упорных трудов, измеряемых для отдельного случая не часами, а неделями. Осмелюсь тебе еще доложить, что на свете было, есть и будет несметное число всяких бездельников, которые отравляют жизнь настоящим ученым, заваливая их своими творениями по вопросу о квадратуре круга и доказательствами теоремы Форма и требуя не только внимания и помощи, но и тысячных премий, и поднимают дикие вопли о бесчеловечности, когда их просят по-хорошему не приставать с чепухой и отвязаться. Я, конечно, не думаю, чтобы ты в будущем пристал к этому стаду, потому что сам видел сейчас, что эту задачу голыми руками не возьмешь, но все-таки, дружок, надо быть поосторожнее! Ты должен понять вот что, милый друг: если ты подходишь к теореме Ферма всерьез, как подобает ученому, то надлежит вооружиться всеми средствами современной науки, иначе ничего не сделаешь. А чудаки, которые надеются одолеть ее с помощью элементарных средств, напоминают того дурачка, который, увидав в первый раз телескоп, наведенный на луну, решил, что только заведомые глупцы могут пользоваться таким сложным аппаратом, а он, умник, поступит попроще: просто сколотит большую деревянную лестницу, залезет на небо, достанет оттуда луну, поставит ее к себе на стол, разглядит и всем желающим расскажет.
Вот как!
- 96 -
Схолия Седьмая,
где Илюша открывает еще кое-что насчет обычаев и нравов веселого карликового народца, у которого он был в гостях, и, в частности, узнает о том, как можно натянуть нос одному неуклюжему существу, причем натягивание это мнимое, а нос-то получается совершенно вещественный. После этого наш герой пытается играть с зеркалом в "Дразнилку", а затем наши добрые друзья встречаются с тремя недогадливыми испанцами и тремя храбрыми дипсодами, то есть людьми из Страны Жаждущих (которая подробно описана в знаменитой истории Гаргантюа и Пантагрюэля, неутомимых острословов, великанов и мудрецов). И только благодаря этой встрече Илюша узнает, сколько врагов надо уложить, когда на тебя нападают со всех сторон, ибо до сих пор он думал, что сторон в три раза меньше, чем это оказывается на самом деле. Тут же выясняется, почему любители чужого добра вдруг становятся такими кроткими, когда им растолкуют наконец, какие симпатичные треугольнички для них приготовлены в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.
Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:
- Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.
- Что именно? - вопросил Радикс.
- 97 -
- Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?
Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.
Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.
- Могу, - сказал любезный человечек, - вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя - на сумму и разность первых степеней.
- Ну еще бы, - отвечал Илюша.
- А мы, - продолжал словоохотливый человечек, - умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.
И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:
x2 + у2 = (х + iy) (x - iy).
- Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы х2 + у2 = z2,
то положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:
x + iy=(p + iq) 2 = p2 - q2 + 2pqi.
Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что
х = p2 - q2; y = 2pq,
откуда уже сразу следует, что
z = р2 + q2.
- 98 -
Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a•b = z2 не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, внимание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?
Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:
(х3 - 1) = (x - 1) (х2 + х + 1).
- Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что...
- Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.
х2 + х + 1 = 0.
- Ну вот, - продолжал Мнимий, - отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, которые мы вам вывели, равны: один - синусу тридцати градусов, а другой - косинусу тридцати градусов.
- 99 -
Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.
- Теперь, - сказал Илюша, - я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!
- Милый юноша, - отвечал ему Мнимий Радиксович, - все, что вы здесь увидите, все вам будет помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно - натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть - поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто "дважды три". Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:
