Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Подведем итоги этой главы упражнениями, которые, надеюсь, поддержат ваш интерес к представленным здесь темам.

УПРАЖНЕНИЯ НА ПРИБЛИЖЕННУЮ ОЦЕНКУ

Решите следующие упражнения на вычисление приближенной оценки; затем сверьте свои ответы и ход вычислений с ответами в конце книги.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ СЛОЖЕНИИ

Округлите эти числа в ту или иную сторону и посмотрите, насколько вы близки к точному ответу.

Устно оцените сумму для следующего столбика чисел, округляя их до ближайших 50 центов.

2,67

1,95

7,25

9,21

0,49

11,21

0,12

6,14

8,31

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ВЫЧИТАНИИ

Оцените ответы следующих задач на вычитание, используя округление до второй или третьей цифры.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ДЕЛЕНИИ

Скорректируйте числа таким образом, чтобы у вас появилась возможность дать приближенную оценку результатам деления.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ УМНОЖЕНИИ

Скорректируйте числа таким образом, чтобы у вас появилась возможность дать приближенную оценку результатам умножения.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

Оцените квадратные корни следующих чисел, используя методы деления и усреднения.

УПРАЖНЕНИЕ: КАЖДОДНЕВНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Вычислите 15 % от 88 долларов.

2. Вычислите 15 % от 53 долларов.

3. Вычислите 25 % от 74 долларов.

4. Сколько времени потребуется для удвоения денег при годовой ставке в 10 %?

5. Сколько времени потребуется для удвоения суммы при годовой ставке в 6 %?

6. Сколько времени понадобится для утроения суммы при годовой ставке в 7 %?

7. Сколько времени потребуется для увеличения средств в 4 раза при годовой ставке в 7 %?

8. Оцените размер месячной выплаты за кредит в 100 000 долларов при процентной ставке 9 % в течение 10 лет?

9. Оцените размер месячной выплаты за кредит в 30 000 долларов при процентной ставке 5 % в течение 4 лет?

Глава 6

Математика с ручкой и бумагой

Во введении я упоминал о выгодах, которые вы получите от умения считать в уме. В этой главе я расскажу о том, как ускорить вычисления на бумаге. С тех пор как появились калькуляторы, они успели взять на себя бóльшую часть выполнения арифметических действий во многих ситуациях.

Поэтому в этой главе я предпочел сосредоточиться на забытом искусстве вычисления квадратных корней и методе «крест-накрест» для перемножения больших чисел. Надо сказать, что в основном для разминки мозга, а не для практического применения, я сначала затрону сложение и вычитание и покажу вам парочку любопытных приемов для ускорения этого процесса. Вообще-то эти техники можно успешно использовать в повседневной жизни, в чем вы вскоре убедитесь.

Если вы готовы встретиться с более трудными задачками на умножение, можете пропустить эту главу и сразу перейти к главе 7, критически важной для освоения навыков работы с большими задачами из главы 8. Если же вам нужен перерыв и вы просто хотите немного развлечься, рекомендую прочитать эту главу — вы получите удовольствие от того, что вновь обратились к ручке и бумаге.

Сложение длинных столбиков чисел — как раз та самая задача, с которой вы можете столкнуться по работе или во время подсчета собственных доходов и расходов. Суммируйте числа из следующего столбика привычным способом, а затем посмотрите, как это сделал я.

Когда у меня есть ручка и бумага, я складываю числа сверху вниз и справа налево, как учили в школе. Практикуясь, вы сможете решать эти задачи в уме так же быстро (или быстрее), как и на калькуляторе. Когда я суммирую цифры, единственные числа, которые я «слышу», — это частичные суммы.

Я всегда сначала суммирую крайнюю справа колонку: 8 + 4 + 0 + 7 + 7 + 5 и слышу: 8… 12… 19… 26… 31. Затем я записываю 1, держа в уме 3. Следующая колонка звучит так: 3… 5… 13… 15… 22… 23… 25. Получив итоговый ответ, я записываю его, а затем проверяю свои вычисления путем сложения чисел снизу вверх и обычно получаю такой же результат.

Например, суммирую цифры первой колонки снизу вверх: 5 + 7 + 7 + 0 + 4 + 8 (у меня в голове при этом звучит 5… 12… 19… 23… 31), затем мысленно переношу цифру 3 и складываю 3 + 2 + 1 + 7 + 2 + 8 + 2 и т. д. Благодаря сложению чисел в другом порядке вы снижаете вероятность совершить одинаковую ошибку дважды. Конечно, если ответы отличаются, то хотя бы одно из вычислений было неправильным.

Когда я не уверен в ответе, я проверяю решение, используя метод, который называю «модульные суммы» (потому что он основан на элегантной математике из раздела модульной арифметики[7]). Он также известен под названиями «цифровые корни» и «метод сравнений по модулю 9». Признаю, что этот метод не слишком практичен, зато он легок в применении.

В методе модульных сумм вы складываете цифры каждого из чисел до тех пор, пока не останется одна-единственная цифра. Например, чтобы вычислить модульную сумму числа 4328, сложите 4 + 3 + 2 + 8 = 17. Затем суммируйте цифры числа 17, получится 1 + 7 = 8. Следовательно, модульная сумма числа 4328 равна 8. Для предыдущей задачи модульная сумма каждого из чисел вычисляется таким образом:

Как показано выше, следующий шаг — сложение всех модульных сумм 8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5. Получается 29, что дает модульную сумму 11, которая, в свою очередь, дает модульную сумму 2. Обратите внимание, что модульная сумма числа 8651 тоже равняется 2. Это не совпадение! Если вы посчитали ответ и модульную сумму правильно, то ваша итоговая модульная сумма должна быть такой же. Если они различаются, то вы определенно допустили где-то ошибку: существует вероятность (около 1 к 9), что совпадение модульных сумм будет случайным. При наличии ошибки этот метод позволит обнаружить ее в 8 случаях из 9.

Метод модульных сумм больше известен математикам и бухгалтерам как «метод сравнений по модулю 9», потому что модульная сумма числа обычно равна остатку, полученному в результате деления на 9. В случае числа 8651 модульная сумма равна 2: если вы разделите 8651 на 9, то в ответе будет 961 с остатком 2. Существует одно небольшое исключение.

Напомним, что сумма цифр любого числа, кратного 9, тоже кратна 9. Значит, если число кратно 9, оно будет иметь модульную сумму 9, даже если остаток равен 0.

Нельзя вычитать столбцы чисел таким же способом, как складывать. Предпочтительнее последовательно отнимать число за числом. Это означает, что все задачи на вычитание включают лишь два числа. Еще раз повторю: с карандашом и бумагой легче вычитать справа налево. Чтобы проверить ответ, прибавьте его ко второму числу. Если все правильно, то должно получиться вычитаемое число.

Если хотите, то для проверки ответа можно использовать модульные суммы. Разница здесь (по сравнению со сложением) в том, что нужно вычитать их и затем сравнить полученное число с модульной суммой ответа.

Существует еще одно ухищрение. Если разница модульных сумм отрицательна или равна 0, прибавьте к ней 9. Например:

С появлением карманных калькуляторов метод ручки и бумаги для вычисления квадратных корней практически ушел в небытие. Вы уже научились устно оценивать квадратные корни. Сейчас я покажу, как найти точное значение квадратного корня с помощью ручки и бумаги.

Помните, как в разделе приближенной оценки квадратных корней мы вычисляли квадратный корень из девятнадцати?

Взглянем на задачу еще раз, используя метод, который даст вам точное значение квадратного корня.

Я опишу этот метод как универсальный, который годится для любой ситуации, и проиллюстрирую примером, приведенным выше.

Шаг 1. Если количество цифр до десятичной запятой равно 1, 3, 5, 7 или любому другому нечетному числу, то первая цифра ответа (или частного) будет наибольшим числом, квадрат которого меньше первой цифры исходного числа. Если количество цифр до запятой равно 2, 4, 6 или любому другому четному числу, то первая цифра частного будет наибольшим числом, квадрат которого меньше первых двух цифр делимого. В данном случае 19 — двузначное число, поэтому первая цифра частного будет наибольшим числом, квадрат которой меньше 19. Это число 4.