Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Кеки Дарувалла «Инструкция к пространству-времени» («Space-time instruction») из сборника The Mapmaker (2002)

Центральная, или гномоническая, проекция считается самой древней. Ее авторство обычно приписывается Фалесу Милетскому, который, как считается, использовал косую гномоническую проекцию для создания карт звездного неба. Эта азимутальная проекция земного шара на касающуюся его плоскость в древности называлась horologium («часы») и «гороскоп», так как гномон был частью солнечных часов. В солнечных часах гномон располагается под наклоном и указывает на Северный полюс. Тень гномона указывает время в течение дня, когда Солнце движется по небу. Углы между делениями, обозначавшими часы, на циферблате солнечных часов, размеченном для определенной широты, равны углам между меридианами в гномонической проекции, центр которой располагается на этой же широте. При этом 15° долготы равносильны разнице во времени ровно в один час.

Происхождение термина «центральная проекция» неизвестно. Термин «гномическая проекция» первым использовал английский математик Уильям Эмерсон в 1749 году. Позднее, в 1836 году, британский математик Огастес де Морган ввел современный термин «гномоническая проекция». Богатство геометрических свойств этой проекции основано на том, что кривые, указывающие кратчайшие пути (то есть геодезические линии), также называемые ортодромами, изображаются прямыми. Слабое место этой проекции заключается в том, что по мере удаления от точки касания (центра карты) искажения сильно возрастают, что делает проекцию неудобной для составления карт мира. Однако ее можно использовать в других целях.

* * *

ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (ОК. 624 ГОДА ДО Н. Э. — ОК. 547 ГОДА ДО Н. Э.)

О жизни и творчестве этого греческого философа и математика мало что известно. Сведения о нем дошли до нас благодаря работам более поздних философов и историков, в частности Аристотеля, Геродота и Диогена Лаэртского. Фалес, учитель Пифагора, считался первым философом Античности и первым из семи мудрецов Греции. Ему приписывается ряд геометрических открытий, два из которых объединены общим названием «теорема Фалеса».

1. Угол, вписанный в полуокружность, прямой.

2. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные между собой отрезки.

Хотя мы не можем точно утверждать, каков на самом деле был вклад Фалеса в науку, достоверно известно одно: он был первым математиком, которому присваивались конкретные математические открытия. Фалес считается создателем дедуктивной геометрии; различные источники приписывают ему авторство решений множества практических задач. Так, Фалес измерил размеры египетских пирамид по длине их тени с помощью вертикально расположенной палки, предсказал солнечные затмения и вычислил расстояние от корабля до берега с помощью подобия треугольников. Благодаря Аристотелю нам известно, как Фалесу удалось разбогатеть. Ученый, применив знания астрономии, предсказал высокий урожай оливок и взял под контроль маслобойни в Милете и на Хиосе. Несколько месяцев спустя, когда урожай был собран, Фалес смог диктовать покупателям свои цены. В результате он разбогател и посрамил всех, кто попрекал его бедностью и называл его философию бесполезной.

* * *

Рассмотрим сферу и касательную ей плоскость. Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью центральной проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точку А и центр сферы, с этой плоскостью.

Схема центральной, или гномонической, проекции и карта, выполненная в этой проекции (центр проекции расположен на экваторе).

Это очевидно геометрическая проекция. Если мы вновь представим Землю как шар из полупрозрачного пластика, на поверхности которого нарисованы континенты, то сможем увидеть его гномоническую проекцию, если поставим шар на белый стол и разместим в центре шара точечный источник света.

Если точкой касания шара и плоскости является один из полюсов, то меридианы отображаются в виде радиальных равномерно распределенных прямых, исходящих из центра карты, где будет изображен полюс. Экватор в этом случае бесконечно удален, и его нельзя представить на карте. На такой бесконечной карте нельзя изобразить и полушарие целиком. Другие параллели будут иметь вид концентрических окружностей, центр которых совпадает с полюсом.

Карта, выполненная в полярной гномонической проекции. Центром проекции является Северный полюс.

Если точка касания шара и плоскости располагается на экваторе, то меридианы будут отображаться в виде параллельных прямых, распределенных неравномерно. Экватор в этой проекции будет выглядеть как прямая, перпендикулярная меридианам, а остальные параллели примут форму гипербол.

Если точкой касания шара и плоскости выбрать любую произвольную точку сферы, то меридианы будут изображаться в виде радиальных неравномерно распределенных прямых, указывающих на полюс. Экватор будет изображен в виде прямой, перпендикулярной только меридиану, проходящему через точку касания. Другие параллели, близкие к полюсу, примут форму эллипсов, параллель, проходящая через точку касания, будет изображена в виде параболы, остальные параллели — в виде гипербол.

Карта, выполненная в косой гномонической проекции с центром в Японии.

Вот некоторые свойства карты в гномонической проекции.

1. Как правило, круглая форма (возможно, обрезанная тем или иным способом), карта охватывает лишь часть одного из полушарий.

2. Большие круги, проходящие через точку касания, отображаются как радиальные равномерно распределенные прямые (если мы рассмотрим несколько больших кругов, отстоящих друг от друга на равные углы), а точки, удаленные от точки касания на одинаковое расстояние, примут форму окружностей с центром в этой точке.

3. Форма и распределение меридианов и параллелей будут выглядеть так, как мы описали выше. Искажение в направлении меридианов будет равно μ = 1/sin2 φ, в направлении параллелей — λ = 1/sin φ.

4. Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, но не сохраняет расстояния, площади и величины углов.

5. Искажение площадей, форм и углов, наименьшее в точке касания (в центре карты), будет увеличиваться по мере удаления от этой точки.

Доказать геометрическими методами, что гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, очень просто. Геодезические линии сферы, большие круги, получаются сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Следовательно, изображением большого круга в центральной проекции будет прямая, вдоль которой пересекаются плоскость, определяющая большой круг, и касательная плоскость, как показано на рисунке. Это доказывает, что гномоническая проекция преобразует геодезические линии сферы (ее большие круги) в геодезические линии плоскости (прямые).

Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии и преобразует большие круги сферы в прямые на плоскости.

Кроме того, можно доказать, что это по сути единственная картографическая проекция, обладающая подобным свойством. Если говорить о сохранении площадей или углов, то этим свойством обладает множество проекций.

Чтобы определить, сохраняет ли гномоническая проекция площади и (или) углы, вычислим искажения, возникающие при ее использовании на меридианах и параллелях. Для этого построим индикатрису Тиссо для произвольной точки сферы, то есть рассмотрим окружность достаточно малого размера (в действительности она будет бесконечно малой, поэтому можно считать, что окружность располагается на плоскости, касающейся сферы в этой точке) и рассчитаем размеры эллипса, в который преобразуется эта окружность в гномонической проекции.

Представим Землю как сферу единичного радиуса. Рассмотрим плоскость проекции Т, которая касается сферы (допустим, точка касания расположена в Северном полушарии). На эту плоскость мы спроецируем часть полусферы, при этом центр проекции будет совпадать с центром сферы. Пусть А — точка сферы с широтой φ, D — диск достаточно малого радиуса r, который касается сферы в точке А.