Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления
Калькулятор Шиккарда не оказал большого влияния на вычисления: его изобретатель стал жертвой одной из эпидемий, бушевавших в Европе в те годы. Изобретение затерялось и было вновь найдено лишь в XX веке. О нем стало известно из переписки Шиккарда с Иоганном Кеплером, с которым тот сотрудничал. В своих письмах он приводит многочисленные эскизы своего изобретения. Благодаря им стало возможным воссоздать машину и убедиться, что она действительно работала. В одном из писем Кеплер подтверждает, что попросил экземпляр калькулятора у своего друга и коллеги Шиккарда.
«Паскалина», калькулятор, изобретенный Блезом Паскалем, стал первой широко известной вычислительной машиной. Этот гениальный философ и математик представил свое изобретение публике в 1642 году, когда ему было всего 19 лет. Созданная Паскалем машина была схожа с изобретением Вильгельма Шиккарда: когда колесо, соответствовавшее меньшему разряду, совершало полный оборот, колесо, соответствовавшее следующему разряду, поворачивалось на одно деление. К сожалению, подобное устройство было источником различных проблем, поскольку зубчатые колеса не всегда сцеплялись правильно.
«Паскалина», изобретенная Блезом Паскалем.
Было доказано, что Паскаль создал свою машину независимо от Вильгельма Шиккарда. «Паскалина» была проще, и с ее помощью можно было выполнять только сложение и вычитание. Первая версия работала с пятизначными числами (машина Шиккарда с шестизначными), в последующих версиях число разрядов было увеличено. Некоторые калькуляторы поступили в продажу, но их высокая цена отпугнула покупателей и не принесла семье Паскаля существенной прибыли. «Паскалина» стала всего лишь игрушкой, символом статуса для зажиточных людей Франции и других стран Европы. Паскаль в течение 10 лет улучшал свое изобретение и создал 50 различных версий.
Несмотря на ограничения и сбои в работе, эти машины имели огромное значение. С их появлением всю Европу охватила жажда изобретательства, математики и инженеры один за другим принялись создавать новые и новые механические калькуляторы. Некоторые из них были более совершенными, чем «Паскалина», другие были еще проще. Англичанин Сэмюэль Морленд (1625–1695), например, создал вычислительную машину, адаптированную к британской денежной системе с пенни, шиллингами и фунтами, которая отличалась от десятичной. В отличие от «Паскалины», его калькулятор не мог переносить значения в старший разряд автоматически. В нем присутствовали отдельные колеса для значении, перенесенных в каждый разряд, которые требовалось учитывать вручную. Машина Морленда была примечательна своими размерами: она свободно помещалась в карман.
* * *
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623–1662)
Французский математик, физик, философ и богослов Блез Паскаль вместе с Чарльзом Бэббиджем считается отцом современных компьютеров. Паскаль был вундеркиндом: уже в И лет он написал небольшой трактат о звуках вибрирующих тел и самостоятельно доказал, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. В 12 лет он изучил труды Евклида и начал посещать собрания, на которых присутствовали лучшие математики и другие ученые Европы: Роберваль, Дезарг, сам Декарт. Паскаль создал свои фундаментальные труды по проективной геометрии, когда ему было всего 16 лет. Прочитав рукопись, Декарт не мог поверить, что ее автор — подросток. Паскаль был математиком и физиком первой величины, а его открытия ярко сияют на звездном небе современной науки.
* * *
В книге The Description and Use of two Arithmetick Instruments, изданной в Лондоне в 1673 году, описывается вычислительная машина, изобретенная Сэмюэлем Морлендом.
Калькулятор, созданный Готфридом Лейбницем, был намного более совершенным по сравнению с машиной Паскаля, так как с его помощью можно было автоматически выполнять умножение. До этого умножение с помощью калькуляторов было трудоемким и требовало выполнения промежуточных вычислений вручную. Однако вновь возникала извечная проблема: машины становились все сложнее и сложнее и в итоге переставали работать вовсе. Точность деталей была недостаточной, чтобы обеспечить требуемую надежность. Но несмотря на это, усовершенствования, представленные Лейбницем, оказали большое влияние на последующие изобретения. Среди них выделяются два нововведения: зубчатый механизм Лейбница (цилиндр, удерживавший зубчатые колеса на определенных расстояниях друг от друга) и передвижная каретка. Улучшения, необходимые для того, чтобы эти изобретения стали по-настоящему надежными, внес француз Шарль Ксавье Тома де Кольмар в 1822 году, когда изобрел и начал серийный выпуск арифмометра.
Однако вклад Лейбница не ограничивался одним лишь созданием неточного вычислительного калькулятора. Намного более важным был его труд о двоичной системе счисления, лежащей в основе современной информатики. Эту систему счисления до него изучал англичанин Томас Хэрриот (1560–1621), однако результаты его работы не были опубликованы. В следующей таблице приведена запись чисел от 0 до 15 в двоичной системе.
Устройство арифмометра Шарля Ксавье Тома де Кольмара (вверху) и калькулятора, изобретенного Гэтфридом Лейбницем.
Лейбниц внес важный вклад не только в развитие систем счисления. Этот немецкий философ также является автором значимых трудов по логике. Его работы в этой области были опубликованы посмертно, так как, по всей видимости, Лейбниц был не вполне доволен ими. Заглавие одной из его работ, Post tot logicas nondum Logica qualem desidero scripta est, можно перевести как «После стольких логик та логика, что я сочинил, еще не была написана». Он работал над созданием логического исчисления, которое можно было бы применять к любым научным высказываниям.
В одной из своих работ Лейбниц писал:
«Если нам это удастся, то, когда возникнет противоречие, необходимости в споре между двумя философами будет не более чем между двумя математиками. Будет достаточно взять перья и абак и сказать друг другу: произведем вычисления».
* * *
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646–1716)
Немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц вместе с Декартом и Спинозой входит в тройку великих рационалистов XVII века. Он был математиком, логиком, философом, геологом, историком и экспертом в юриспруденции. Он также внес огромный вклад в технологию и предвосхитил появление многих понятий в биологии, медицине, психологии и даже информатике. Независимо от Ньютона он создал анализ бесконечно малых. Введенные им обозначения используются и сейчас.
Составить полный перечень его открытий невозможно, поскольку до сих пор не издано полное собрание всех его сочинений, разбросанных по дневникам, письмам и рукописям, некоторые из которых никогда не публиковались. Лейбниц установил соответствие между двоичной системой счисления и сотворением мира: в его математическом представлении космоса, напоминавшем пифагорейское, ноль обозначал пустоту, единица — Бога.
* * *
В этой работе прослеживается влияние Раймунда Луллия: при написании «Рассуждения о комбинаторном искусстве» (Dissertatio de Arte Combinatoria) Лейбниц вдохновлялся его «Великим искусством». Для Лейбница даже приближение к божественному знанию должно было достигаться исключительно путем комбинирования основных понятий. Эти основные понятия, которым невозможно дать определение, должны были выражаться на языке математики. На их основе с помощью четких дедуктивных правил должны были выводиться различные истинные высказывания.
Лейбниц считал, что между логикой, математикой и метафизикой существует тесная взаимосвязь. Он был убежден, что его метафизика полностью математическая и что истинную метафизику сложно отличить от истинной логики.
Новые выражения для вычисления числа π
В течение XVII века различные исследователи предпринимали попытки вычислить значение π с помощью бесконечных рядов, следуя путем, который наметил Франсуа Виет. Одним из них был англичанин Джон Валлис (1616–1703) из Оксфордского университета. В своей книге «Арифметика бесконечного», опубликованной в 1633 году, Валлис описал различные выражения для вычисления интегралов и, взяв их за основу, получил следующее выражение для числа π:
Математик и философ Уильям Броункер (1620–1684), основатель и первый президент Лондонского королевского общества, путем преобразования этого выражения в 1658 году получил следующую формулу:
