Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок
Сколько человек было в подразделении?
223. Год 1927. Можно ли найти числа p и q, если pq - qp = 1927? Вот поясняющий пример для случая 1844 г. При p = 3 и q = 7 мы имеем
Сумеете ли вы записать число 1927 аналогичным образом?
224. Ящики со снарядами. Снаряды для шестидюймовых гаубиц были упакованы в ящики по 15, 18 и 20 штук.
— Почему у вас разные ящики? — спросил я офицера на складе.
— Видите ли, — ответил он, — это позволяет нам доставлять на батарею нужное количество снарядов, не открывая ящиков.
Действительно, эта система работала безотказно, когда требовалось большое количество снарядов, но оказывалась негодной, если требовалось доставить, например, 5, 10, 25 или 61 снаряд.
Какое наибольшее число снарядов нельзя доставить на батарею целыми ящиками, вмещающими по 15, 18 и 20 снарядов? Оно не слишком велико.
225. Фруктовый сад. Садовник решил разбить новый фруктовый сад. Он посадил молодые деревья рядами таким образом, что получился квадрат. При этом у него осталось 146 лишних саженцев. Но чтобы увеличить квадрат, добавив лишний ряд, садовнику пришлось купить еще 31 дерево. Сколько деревьев стало в саду по окончании работы?
226. Кубики и квадраты. Вот одна интересная, хотя и не простая головоломка, автора которой установить не удалось.
У троих детей было по совершенно одинаковой коробке с кубиками. Первая девочка составила изо всех своих кубиков квадратную рамку, отмеченную на рисунке буквой А.
Вторая девочка составила квадрат побольше — В. У третьей девочки получился еще больший квадрат — С, но при этом осталось 4 кубика, которые она разместила по углам, как показано на рисунке. Каждая девочка использовала все свои кубики.
Какое наименьшее число кубиков могло содержаться в каждой коробке? Не следует думать, будто на рисунке соблюдены истинные пропорции между размерами квадратов.
227. Найдите треугольник. Стороны и высота некоторого треугольника выражаются четырьмя последовательными целыми числами. Чему равна площадь этого треугольника?
228. Корова, коза и гусь. Некий фермер выяснил, что его корова и коза съедают на лужайке траву за 45 дней, корова и гусь — за 60 дней, а коза и гусь — за 90 дней. Если он выпустит одновременно на поле корову, козу и гуся, то за сколько дней они съедят на лужайке всю траву?
Сэр Исаак Ньютон в свое время показал, как следует решать головоломки, в которых трава на лугах не прекращает расти. Однако в нашей головоломке ради большей простоты мы примем, что из-за неблагоприятных погодных условий трава расти перестала.
229. Головоломка с почтовыми марками. Одного юнца, собиравшего марки, спросили, сколько марок в его альбоме, на что он ответил:
— Если число марок разделить на 2, то в остатке получится 1; если разделить на 3, то в остатке получится 2; если разделить на 4, то в остатке получится 3; если разделить на 5, то в остатке получится 4; если разделить на 6, то в остатке получится 5; если разделить на 7, то в остатке получится 6; если разделить на 8, то в остатке получится 7; если разделить на 9, то в остатке получится 8; если разделить на 10, то в остатке получится 9. Всего в альбоме меньше 3000 марок.
Сколько марок было в альбоме?
230. Устный счет. Дабы испытать способности своих учеников к устному счету, Рэкбрейн попросил их как-то утром сделать следующее:
— Найдите два целых числа (каждое меньше 10), сумма квадратов которых плюс их произведение давали бы полный квадрат.
Ответ скоро был найден.
231. Охота на дроздов.
Двадцать дроздов и четырежды дваМокло под серым дождем,Мой выстрел сразил седьмую их часть,А сколько осталось потом?
232. Шесть нулей.
Выполнив сложение в колонке А, вы получите сумму, равную 2775. Замените шесть цифр в этой колонке нулями так, чтобы сумма стала равна 1111. (В случае В пять цифр заменено нулями, а в случае С — девять, поэтому эти два случая нельзя считать решением задачи.)
233. Умножение дат. В 1928 г. были четыре даты, обладающие замечательным свойством: при записи их обычным образом произведение числа на месяц дает год. Вот эти даты: 28/1 — 28, 14/2 — 28, 7/4 — 28 и 4/7 — 28.
Сколько раз в нашем веке (с 1901 по 2000 г. включительно) встречается такое свойство? Может быть, вы попытаетесь найти год нашего столетия, в котором число таких дат максимально? Существует лишь один такой год.
234. Сокращенные действия. Время от времени появляются различные, подчас довольно хитроумные приемы, облегчающие устный счет. Вот один такой прием, который заинтересует тех, кто с ним не знаком.
Можете ли вы перемножить в уме 993 и 879? Любопытно, что если мы имеем два двузначных числа, содержащих одинаковое количество десятков, и при этом сумма цифр их младших разрядов равна 10, то такие числа всегда можно перемножить в уме следующим образом. Допустим, нам надо умножить 97 на 93. Умножьте 7 на 3 и запишите результат, затем прибавьте 1 к 9 и умножьте на другую девятку, 9 × 10 = 90. Итак, 97 × 23 = 9021.
Это правило оказывается очень полезным при возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, как, например, 852 = 7225. Имеется также простое правило умножения двух дробей, целые части которых совпадают, а дробные части в сумме дают единицу. Возьмем, например, 7¼ × 7¾ = 56. Перемножив дробные части, получим ; прибавим 1 к 7 и, умножив результат на другую семерку, получим 7 × 8 = 56.
235. Еще один любопытный пример на умножение. Вот еще одна из головоломок профессора Рэкбрейна.
Какое число, будучи умноженным на 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 или 99, дает произведение, у которого первая и последняя цифры совпадают с соответствующими цифрами множителя, а будучи умноженным на 90, дает произведение, у которого последние две цифры совпадают с цифрами множителей?
236. Числовой кроссворд. На рисунке вы видите числовой кроссворд. Он похож на обычный кроссворд, но с той разницей, что в клеточки вместо букв вписываются цифры. При этом должны выполняться следующие условия.
По горизонтали: 1. Точный квадрат. 4. Точный квадрат. 5. Точный квадрат. 8. Число, сумма цифр которого равна 35. 11. Квадратный корень из числа, стоящего под номером 39 по горизонтали. 13. Точный квадрат. 14. Точный квадрат. 15. Квадрат числа, стоящего под номером 36 по горизонтали. 17. Квадрат половины числа, стоящего под номером 11 по горизонтали. 18. Число с тремя одинаковыми цифрами. 19. Произведение числа, стоящего под номером 4 по горизонтали, и числа, стоящего под номером 33 по горизонтали. 21. Точный квадрат. 22. Число, стоящее под номером 5 по горизонтали, умноженное на 5. 23. Число, все цифры которого одинаковы, за исключением цифры, стоящей в середине. 25. Квадрат числа, стоящего под номером 2 по вертикали. 27. См. 20 по вертикали. 28. Четвертая степень. 29. Сумма чисел, стоящих под номерами 18 и 31 по горизонтали. 31. Треугольное число. 33. Число, на единицу большее учетверенного числа, стоящего под номером 36 по горизонтали. 34. Число, сумма всех цифр которого равна 18, а три средние цифры — тройки. 36. Нечетное число. 37. Число, все цифры которого, за исключением одной, четные, а их сумма равна 29. 39. Четвертая степень. 40. Куб. 41. Удвоенный квадрат.
По вертикали: 1. Число, читаемое одинаково в обе стороны. 2. Квадратный корень из числа, стоящего под номером 28 по горизонтали. 3. Сумма чисел, стоящих под номерами 17 и 21 по горизонтали. 4. Число, сумма цифр которого равна 19. 5. Число, сумма цифр которого равна 26. 6. Сумма чисел, стоящих под номерами 14 и 33 по горизонтали. 7. Точный куб. 9. Точный куб. 10. Точный квадрат. 12. Число, сумма цифр которого равна 30. 14. Число, все цифры которого одинаковы. 16. Число, сумма цифр которого равна числу, стоящему под номером 2 по вертикали. 18. Число, все цифры которого одинаковы, за исключением первой, равной 1. 20. Сумма чисел, стоящих под номерами 17 и 27 по горизонтали. 21. Число, кратное 19. 22. Точный квадрат. 24. Точный квадрат. 26. Квадрат числа, стоящего под номером 18 по горизонтали. 28. Четвертая степень числа, стоящего под номером 4 по горизонтали. 29. Удвоенное число, стоящее под номером 15 по горизонтали. 30. Треугольное число. 32. Число, оканчивающееся на 8, сумма цифр которого равна 20. 34. Число, стоящее под номером 21 по горизонтали, умноженное на 6. 35. Точный куб. 37. Точный квадрат. 38. Точный куб.
237. Подсчет потерь. Один английский офицер рассказывал, что он входил в состав отряда, насчитывавшего первоначально 1000 человек. Во время одной из операций отряд понес тяжелые потери, а оставшиеся в живых попали в плен и их отправили в лагерь для военнопленных.
В первый день пути удалось бежать ⅙ всех оставшихся в живых членов отряда, на второй день бежала ⅛ оставшихся и один человек умер, на третий день бежала ¼ всех оставшихся. Остальных пленных по прибытии в лагерь разделили на 4 равные группы.
