Kniga-Online.club
» » » » Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Читать бесплатно Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике. Жанр: Математика издательство неизвестно, год 2004. Так же читаем полные версии (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте kniga-online.club или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

a3 = a1r2

……

an = a1rn-1

Сумма этой геометрической прогрессии Sn равна:

S = а1 + а2 + а3  + … + аn-1 + аn  (1)

Если умножить обе части равенства (1) на знаменатель r, получим:

rSnr∙(а1 + а2 + а3  + … + аn-1 + аn) = rа1 + rа2 + rа3 + … + rаn-1+ rаn

rSn = а2 + а3 + … + аnr∙аn  (2)

(если мы умножим данный член прогрессии аi на знаменатель r, получим следующий член, аi+1, так как аi+1rаi).

Вычтя из равенства (2) равенство (1), то есть rSn — Sn, получим:

rSn — Sn = — а1r∙аn; Sn∙(r — 1) = rana1,

откуда

(3)

Это формула суммы геометрической прогрессии. Учитывая, что аna1rn-1 и подставив это равенство в (3), имеем:

Вот еще одна форма записи суммы геометрической прогрессии:

(4)

Для кредита с аннуитетным платежом а сроком n лет и процентной ставкой i будущая стоимость капитала Сn, выплаченная в виде суммы платежей а за n расчетных периодов, будет равна:

Сn  = a(1 + i)0 + a(1 + i)1 +… + a(1 + i) n-2 + a(1i) n-1a + a(1 + i)1 + … + a(1 + i)n-2 + a(1i)n-1

Результат является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен а, знаменатель — (1 + i).

Применив формулу (4) суммы геометрической прогрессии, получим

(5)

Учитывая, что Сn = C0∙(1 + i)n, и подставив это значение в (3), имеем:

Перенеся переменную а, обозначающую сумму аннуитетного платежа, в левую часть, получим формулу для расчета суммы аннуитетного платежа по кредиту:

(6)

где С0  — сумма кредита.

* * *

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Геометрическая прогрессия — одна из простейших последовательностей, то есть это упорядоченное множество чисел, значение определенного члена которого можно вычислить с помощью математической формулы с переменной, указывающей место этого члена в последовательности.

Указанная формула задает общий член последовательности. Как правило, это функция аn = f(n), где n — порядковый номер члена последовательности.

Существуют другие последовательности, члены которых можно вычислить с помощью формулы, в которой фигурируют один или несколько предшествующих членов: например, последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 в которой каждый член является суммой двух предыду щих, или последовательность, общий член которой выражается формулой аn = + аn-1; a1 = 3 (членами этой последовательности являются 3, 5, 8, 12, 17, 23…).

В каждой последовательности необходимо указывать значение начального члена (или членов) и их количество (если последовательность является ограниченной). Если последовательность содержит бесконечное число членов, ее можно продолжать сколь угодно долго, вычисляя значения новых членов по формуле общего члена. Существуют возрастающие последовательности (значения их членов последовательно увеличиваются) и убывающие (значения их членов последовательно уменьшаются), которые могут быть ограниченными или неограниченными.

Последовательности широко используются в финансовой математике. Например, последовательность, члены которой обозначают сумму простых процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой an = 1 + 0,2n.

Последовательность, члены которой обозначают сумму сложных процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,22; 1,23; 1,24;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn = (10,2)n.

Последовательность 21, 23, 25, 27, 29, 31, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn  = 21 + 2(n — 1); a1 = 21.

Последовательность 1, 5, 25, 125, 625, 3125, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой an = 5 n-1; а1 = 1.

Последовательность 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9… - это неограниченная убывающая последовательность, общий член которой может быть найден по формуле аn = 1/(2n1); a1 = 1

Наконец, 1, 1/7, 1/49, 1/343, 1/2401, неограниченная убывающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn = 1/(7n-1); а1 = 1.

Расчет ипотечных кредитов. Как снизить размер долга

Когда мы запрашиваем кредит, то подписываем договор, в котором закрепляются условия кредитования: сумма и периодичность платежей, вид процентов, эквивалентная процентная ставка (в случаях когда срок кредита составляет меньше года), а также действия, предпринимаемые в случае невыполнения одной из сторон своих обязательств.

Если платежи осуществляются в конце расчетного периода, величину фиксированного платежа следует рассчитывать по формуле, которую мы вывели в предыдущем разделе. Часть фиксированного платежа идет в уплату процентов, остаток — в уплату основного долга. В конце каждого периода сумма основного долга к уплате уменьшается, следовательно, уменьшается и сумма процентов к уплате, а часть платежа, направленная в уплату основного долга, последовательно увеличивается.

На основе этих данных составляется график выплат по кредиту, который позволяет в любой момент времени определить, какая часть основного долга выплачена, а какая — подлежит уплате. Далее в качестве примера приведен график платежей по кредиту суммой 10 000 евро под 5 % годовых сроком на пять лет. В этих условиях рассчитывается сумма годового платежа, составляющая 2309,75 евро.

Эта величина получена по формуле (6):

График платежей по кредиту 1.

Как вы можете видеть, с течением времени и по мере внесения платежей сумма основного долга, подлежащего уплате, уменьшается. Как следствие, уменьшается и сумма процентов, а доля платежа, идущая в уплату основного долга, растет.

Может случиться так, что человеку или семье нужно выплачивать сразу несколько кредитов. Например, если человек, взявший кредит, описанный в предыдущем примере, возьмет второй кредит на сумму 30000 евро со сроком погашения 10 лет под 8 % годовых, платеж по которому составляет 4470,88 евро, общая сумма платежей будет составлять 6780,63 евро.

График платежей по кредиту 2.

Если этому человеку не удается вовремя вносить платежи по кредитам, он может обратиться в банк или другое финансовое учреждение, выдавшее кредит, с просьбой о его реструктуризации под более низкие проценты, а главное, при меньшем размере платежей, так как, например, он не может вносить свыше 5000 евро ежегодно. Организация, выдавшая кредит, может предложить объединить два кредита в один суммой 40000 евро под 6 %. Задача заключается в том, чтобы определить срок погашения нового кредита при условии, что ежегодный платеж не превышает 5000 евро.

Чтобы рассчитать срок нового кредита, нужно выразить переменную n из формулы (6) для расчета платежа:

Перейти на страницу:

Луис Арталь читать все книги автора по порядку

Луис Арталь - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки kniga-online.club.


Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике отзывы

Отзывы читателей о книге Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике, автор: Луис Арталь. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор kniga-online.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*