Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С0∙i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С1 = С0 + С0∙i = С0∙(1 + i), и так происходит до последнего года.

n = 0; С0,

n = 1; С1 = С0 + С0∙i = С0∙(1 + i),

n = 2; С2= С1 + С1∙i = С0∙(1 + i) + С0∙(1 + i)∙i = С0∙(1 + i)∙(1 + i) = С0∙(1 + i)2,

n = 3; С3= С2 + С2∙i = С0∙(1 + i)2 + С0∙(1 + i)2∙i = С0∙(1 + i)2∙(1 + i) = С0∙(1 + i)3

……

n = n; Сn = С0∙(1 + i)n.

Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: Сn = С0∙(1 + i)n. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:

С другой стороны, если в формуле Сn = С0∙(1 + i)n перейти к логарифмам, получим:

Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.

* * *

Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться

где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.

Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы

где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.

Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.

Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C0  = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С3?

C0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.

Применив формулу С3 = С0∙(1 + i)3 получим:

С3 = 10000∙(1 + 0,05)3  = 10000∙1,157625 = 11576,25 евро.

Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?

Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С0 = 10000 евро, конечный капитал Сn = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу

и получим следующий результат:

Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).

* * *

СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?

Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.

Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.

Зная число лет n = 5, начальный капитал С0 = 10000 евро и конечный капитал Сn = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле

Подставив в эту формулу исходные значения, получим процентную ставку

* * *

Процентные ставки по кредитам

Как правило, потребители или предприниматели, которые не располагают достаточными средствами для приобретения товаров длительного пользования, промышленного или торгового оборудования, обращаются в банк за кредитом. При покупке недвижимости кредит выдается под залог приобретенного имущества, такой кредит называется ипотечным. Это означает, что если заемщик не сможет выполнить обязательства по кредиту, приобретенная им недвижимость перейдет в собственность банка.

Погашение обычных и ипотечных кредитов осуществляется периодическими платежами (раз в месяц, квартал, полугодие, год и т. д.), в этих платежах часть суммы идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга.

Большинство потребительских и ипотечных кредитов выплачиваются фиксированными платежами, то есть их размер остается неизменным. Платежи могут осуществляться в начале или в конце периода (как правило — в конце периода), при этом выплачиваемая сумма процентов и основного долга будет отличаться.

Однако существуют и другие способы погашения кредитов: в некоторые периоды могут выплачиваться только проценты, сумма платежа может изменяться, при этом в каждом периоде будет выплачиваться фиксированная сумма в счет основного долга плюс проценты по кредиту. Такие платежи называются дифференцированными. Их величина меняется: они включают фиксированную сумму в счет уплаты основного долга и переменную сумму процентов, начисленных на остаток долга по кредиту.

Чаще используются так называемые аннуитетные платежи. Размер аннуитетных платежей (как правило, выплачиваемых в конце расчетного периода) фиксирован. Часть аннуитетного платежа идет в уплату процентов, часть — в уплату основного долга по кредиту. В первые годы большую часть аннуитетных платежей составляют проценты и лишь малая часть идет в уплату долга по кредиту. С течением времени доля выплачиваемых процентов в каждом платеже уменьшается, а доля, идущая в уплату основного долга, возрастает. Чтобы рассчитать размер аннуитетного платежа по кредиту в размере С0 с процентной ставкой i, выданному на n расчетных периодов (лет), нужно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число начиная со второго получается из предыдущего умножением его на определенное число r, которое называется знаменателем прогрессии. Так, последовательность чисел а1, а2, а3, а4…, аn-1, аn (индекс обозначает порядковый номер: первый член последовательности обозначается цифрой 1, последний — n) является геометрической прогрессией тогда, когда для данного знаменателя r выполняется соотношение: а2 = а1∙r, а3 = а2∙r, …, аn = аn-1∙r, так, что r = аn/аn-1. Выразив члены геометрической прогрессии через ау получим:

a1 = a1

a2 = a1∙r