Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

Кроме того, в условиях окончания игры фигурировали три средние величины, введенные Боэцием. Например, если одному из игроков удавалось расположить подряд фишки с номерами 2, 4, 6, при этом между ними располагалась фишка противника, это означало конец партии. Почему? Потому что 4 — среднее арифметическое 2 и 6.

* * *

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В АРИФМЕТИКЕ БОЭЦИЯ

«Древним было хорошо известно, что существуют три средние величины: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Они же рассматривались в науке Пифагора, Платона и Аристотеля.

<…> Назовем величину средней арифметической, когда разности между тремя членами или любым другим их числом одинаковы. <…> Теперь объясним среднюю геометрическую, которую лучше было бы назвать средней пропорциональной, так как в ней рассматриваются пропорции.

Поскольку здесь всегда рассматриваются равные пропорции… например 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, или тройная пропорция 1, 3, 9, 27, 81, равно как можно установить четверное, пятерное или любое другое отношение. <…> Среди других средних гармоническая не строится ни с помощью разностей, ни с помощью равных пропорций. Вместо этого средняя гармоническая есть та, в которой составляется наибольшее с наименьшим (частное) и сравнивается (или приравнивается) разность наибольшего со средним и разница среднего с наименьшим. Например, 4, 5, 6 или 2, 3, 6. 6 превосходит 4 на свою третью часть (то есть на 2), 4 превосходит 3 на свою четвертую часть (на 1), 6 превосходит 3 на свою половину (на 3), 3 превосходит 2 на свою третью часть (на единицу)».

* * *

Гравюра 1554 года, на которой изображена доска для ритмомахии.

* * *

ОБНОВЛЕННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БОЭЦИЯ

Определения, данные Боэцием среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому, можно выразить в современной нотации. Рассмотрим три величины: а, b и с. Предположим, что а — наибольшая величина, b — средняя, с — меньшая, то есть выполняется неравенство а > b > с. Можно предположить, что b — среднее арифметическое, среднее геометрическое или среднее гармоническое двух других величин. Среднее арифметическое обладает следующим свойством: разность между соседними членами неизменна, то есть а — Ь = Ь — с. Это выполняется в случае, когда Ь = (а + с)/2, что нетрудно вывести из предыдущего равенства.

Среднее геометрическое обладает следующим свойством: соотношение соседних членов неизменно, то есть а/b = Ь/с. Это равенство подразумевает, что ас = bb, следовательно, b = √(а·с).

Среднее гармоническое, согласно Боэцию, обладает следующим свойством: соотношение между наибольшей и наименьшей величиной равно соотношению разности большей и средней величины и разности средней и меньшей величины. На языке математики это определение выглядит так: а/с = (а — b)/(b — с). Из этого равенства можно получить следующее равенство: а(Ь — с) = с(а — Ь), откуда следует ab — ас = са — сЬ, или, что аналогично, ab + сЬ = 2ас. Выразим b из последнего равенства и получим b = 2ас/(а + с). Эта формула позволяет получить среднее гармоническое а и с, хотя чаще используется следующее выражение: b = 2/(1/а +1/с). Это выражение можно получить из предыдущего делением числителя и знаменателя на ас.

* * *

В своем труде Ars Magna et Ultima («Великое искусство») Раймунд Луллий представил свою логическую систему доказательства истинности. Целью ее создания было объективно доказать мусульманам превосходство христианской религии. Иными словами, он создал логику для доказательства своих рассуждений. Одним из его открытий являются так называемые круги: на этих кругах были записаны понятия, при вращении кругов образовывались различные комбинации, то есть высказывания, которые Луллий считал истинными.

Пример круга из «Великого искусства» Раймунда Луллия.

Новизна логики Луллия состояла в ее направленности на изучение свойств понятий. Следовательно, ее можно считать синтетической логикой, в то время как в ту эпоху доминировала аналитическая логика. Эта новая точка зрения заинтересовала таких мыслителей, как Джордано Бруно (1548–1600) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), которые позднее использовали философские идеи Луллия. Лейбниц применил их в своем выдающемся трактате «Рассуждения о комбинаторном искусстве», опубликованном в 1666 году. По сути, логика Луллия сохранилась до наших дней, так как именно на ней основаны логические системы, лежащие в основе многочисленных современных вычислительных машин.

Миниатюра из книги «Великое искусство» Раймунда Луллия.

* * *

АНАЛИТИЧЕСКАЯ И СИНТЕТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Философ Иммануил Кант (1724–1804) объяснил различие между синтетической и аналитической логикой в своей книге «Критика чистого разума». Его суть в том, что в аналитической логике предикат входит в содержание субъекта, а в синтетической логике не входит. Например, высказывание «у каждого треугольника три стороны» является аналитическим, поскольку наличие трех сторон является неотъемлемым свойством треугольника, заключенном в самом его определении. В противном случае высказывание является синтетическим. Например, таким высказыванием будет «некоторые преподаватели ставят много неудовлетворительных оценок на экзаменах».

В 1951 году американский философ Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000), учитель Ноама Хомского, взял на себя смелость заново поднять вопрос о различии между аналитической и синтетической логикой.

* * *

Раймунд Луллий был автором и других понятий, лежащих в основе современной науки. Он также разработал систему проведения выборов, которая изначально предназначалась для распределения церковных должностей. Эта система была впервые описана в романе «Бланкерна» на примере выборов настоятельницы монастыря, а затем изложена в более формальном виде в книгах Ars Electionis и Artifitium Electionis Personarum. Его идеи оказали огромное влияние на философа и богослова Николая Кузанского (1401–1464), который считается основателем немецкой философии. По сути, системы, предложенные Луллием и Николаем Кузанским, стали основой современных избирательных систем: система Луллия удовлетворяет критериям системы Кондорсе, созданной в 1785 году, а на системе Кузанского строится правило Борда, впервые изложенное в 1770 году. Цель всех этих систем голосования — определить кандидата, которому отдает предпочтение группа людей, зная предпочтения отдельных избирателей.

Система счисления, которую мы используем сегодня, попала в Европу из Индии через северную Африку усилиями мусульман. Это объясняет, почему эти цифры называются арабскими. Эту систему счисления определил и развил персидский мудрец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми.

Герберт Орильякский, который был избран папой римским под именем Сильвестра II, сыграл в этом процессе решающую роль, так как именно он способствовал повторному распространению абака в Европе и использованию арабских цифр. Абак Герберта Орильякского был обновленным вариантом римского абака. В нем использовались девять символов для обозначения цифр, нулю соответствовал пустой столбец. В Европе он стал использоваться повсеместно в XI веке, однако абак с арабскими цифрами не заменил абак с римскими цифрами: он рассматривался как средство для вычислений, а римские цифры считались единственно возможной формой записи результатов.

Вне всяких сомнений, решающую роль в распространении арабских цифр сыграл Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми. Его основной труд — «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-му кабала» («Книга о восполнении и противопоставлении»). Этот труд предшествовал трактату «О началах индийской арифметики» Кушьяра ибн Лаббана, и его важность намного выше. К сожалению, не сохранилось ни одного арабского издания книги ибн Лаббана, которая известна нам лишь благодаря более поздним переводам на латынь, выполненным в XII и XIII веке. О важности труда аль-Хорезми можно судить уже по его названию: от слов «ал-джабр» произошло слово «алгебра», от имени автора — понятие «алгоритм».