Джавад Тарджеманов - Серебряная подкова
Следовательно, геометрия последнего есть лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.
Только недавно, спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной и его геометрия отлична от евклидовой. Величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры полей тяготения тех или иных его участков.
Таким образом, начерченные на листке бумаги (то есть в евклидовой плоскости) параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид, и поэтому, конечно, они пересекутся.
Чтобы не нарушить интуиции, выработанной евклидовой геометрией, можем изобразить указанный чертеж в несколько ином виде.] He зная, есть ли перпендикуляр АЕ единственная прямая, которая не встречается с DC, будем считать возможным, что существуют и другие линии, например AG, которые не встречаются с DC, сколько бы мы их ни продолжали. При переходе от пересекающих линии AF к непересекающим AG мы должны встретить линии АН параллельную DC2, - граничную линию, - по одну сторону которой ни одна линия AG не встречает DC, между тем как по другую сторону каждая линия AF пересекает линию DC. Угол HAD между параллелью АН и перпендикуляром AD называется углом параллельности; мы будем здесь обозначать его через П(Р) при AD = p [Это обозначение основано на том, что величина угла параллельности непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра АД. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр уходит в бесконечность, этот угол становится равным нулю. Следовательно, в геометрии Лобачевского имеет место взаимозависимость угла и отрезка, что представляет самый существенный момент.].
Если П(р) есть прямой угол [То есть в случае геометрии Евклида], то продолжение АЕ' перпендикуляра АЕ также будет параллельно продолжению DB линии DC. Кроме параллели ЕЕ', все другие прямые при достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать линию В С.
Если П(р) " 1/2 п [То есть в случае неевклидовой геометрии], то по другую сторону перпендикуляра AD под тем же углом DAK=П(Р) будет проходить еще одна линия А К, параллельная продолжению DB линии DC; таким образом, при этом допущении мы должны отличать еще сторону параллельности [Иными словами, прямая АН считается параллельной прямой ВС в сторону ДС, а прямая АК - параллельной той же прямой в сторону ДВ. Это получает еще более точное выражение, если говорить только о лучах, а не прямых: луч АН параллелен лучу ВС, а луч АК параллелен лучу С В; вместе с тем через точку А, лежащую вне луча ВС, во всяком случае (то есть как в евклидовой, так в неевклидовой геометриях) проходит один и только один параллельный ему луч AH]...
Сообразно этому при предположении П(р)= 1/2П линии могут быть только пересекающими или параллельными; если же принять, что П(Р)" 1/2П , то нужно допустить две параллели, одну по одну сторону перпендикуляра, другую по другую его сторону; кроме того, между остальными линиями нужно различать пересекающие и непересекающие: нк; при одном, так и при другом предположении признаком параллелизма служит то, что линия становится пересекающей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель; таким образом, если АН параллельна DC, то каждая линия AF, сколь бы мал ни был угол HAF, пересекает ДС... Параллельность уже рассматривается во всей обширности [Таким образом, Лобачевский изменил само понимание параллелизма. Параллельными линиями Евклид называет такие, которые находятся в одной плоскости и, при неограниченном продолжении их, не пересекаются. Получается, что непересекающиеся и параллельные - одно и то же. Не так у Лобачевского. Из всех непересекающих данную прямую он выбирает лишь две крайне прямые линии и называет их параллельными. Все остальные прямые не пересекающие данную, он не считает параллельными данной (в настоящее время в математической литературе их обычно называют сверхпараллельными или расходящимися).
Аксиома параллельных Лобачевского в связи с этим получает уточнение и может быть сформулирована: если дана прямая ВС и не лежащая на ней точка А, то через точку А в плоскости ABC можно провести две прямые, параллельные данной прямой СВ (на чертеже это - прямые АН и АН; прямая ЕЕ' - евклидова параллель)] и служит основанием геометрии в самом общем виде, которой я дал название "Воображаемой геометрии".
Последние два слова, сказанные отчетливо, прозвучали как вызов. Лобачевский умолк и пристально всмотрелся в лица слушателей. Выражение этих лиц не обещало хорошего. Симонов явно скучал, развлекаясь обломком гусиного пера как зубочисткой. Никольский усиленно кивал головой и пожимал плечами, стремясь выразить согласие с чем-то, что нашептывал ему Брашман. Фукс, опираясь руками на широко расставленные колени, думал о чем-то своем, даже не стараясь прислушаться к докладу. Профессор химии Дунаев, небрежно перевалившись, что-то нашептывал сидевшему рядом розовощекому Купферу.
Николаю Ивановичу вдруг вспомнилась поговорка Дунаева, с которой начинал он обычно свой курс лекций по химии: "Алхимия, господа, есть мать химии. Дочь не виновата, что мать ее глуповата..."
Вот сейчас, в эту минуту, рождается новая наука. Но мать ее не глупая и невежественная алхимия, а мудрая геометрия, давно покорившая весь мир, царствующая в нем более двух тысячелетий. И все-таки "Воображаемая геометрия" дерзает встать рядом с матерью, а завтра, может быть, скажет, что и переросла ее. Завтра...
Но пока что Лобачевский, создатель этой новой геометрии, видел с кафедры лишь холодные недоверчивые взгляды сидящих перед ним людей - тех, кто его слушал: физиков, математиков, астрономов, философов.
А говорил он вещи, которые на самом деле странно было в то время услышать из уст ученого. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых, утверждал он, причем, по мере бесконечного возрастания всех сторон треугольника, эта сумма стремится к нулю. Попробуйте представить себе треугольник, сумма углов которого ничему не равна! Подобных треугольников, как и вообще подобных фигур, существовать не может. В этой геометрии отсутствуют точные прямоугольники, даже квадраты...
- Да что ж это, Николай Иванович? - вскочил Никольский. - Государи мои! - обратился он к окружающим. - Я понимать отказываюсь.
- Нечего возмущаться, Григорий Борисович, - с иронией заметил Сергеев, - успокойтесь. Ведь геометрия уважаемого Николая Ивановича всего лишь воображаемая!
Чего только не может представить нам воображение, особливо горячее! Почему бы не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным.
В зале засмеялись.
- Григорий Борисович!.. Петр Сергеевич! - Ударом кулака по столу Симонов призвал их к порядку. - Господа, свое суждение о новой геометрии будете высказывать после.. Прошу! - он обернулся к Николаю Ивановичу.
Лобачевский стиснул челюсти так, что виски побелели.
Он понял: продолжать не следует. Глухая, непробиваемая стена стояла между ним и людьми, сидящими в этом сумрачном зале. Никто не понимал его и не хотел понять.
Слова о необычайном и сложном, почти фантастическом строении мира, эти слова, сказанные впервые на земле, были обращены к глухим. И что удивительно, среди коллег никому в данную минуту не пришла в голову простая мысль: ведь Лобачевский истинный математик - это всем известно и всеми признано; а раз так, может быть, и то, что сейчас он говорил им звонким от волнения голосом, вовсе не является бредом? Возможно, в этом есть какой-то ими еще не понятый смысл, и об этом стоит подумать?
- Я сказал все, господин председатель, - произнес Лобачевский, и голос его прозвучал сурово.
Симонов на какую-то секунду растерялся, не зная, что предпринять.
- Та-а-акс, - протянул он. - Господа, кто бы хотел высказать свои соображения?
Ответом было гнетущее молчание. Сидели, потупив глаза: боялся каждый, как бы не встретиться взглядом с Лобачевским.
- Господа! - снова заговорил Симонов. - Полагаю нужным составить комиссию, коей и перепоручить глубокое изучение доклада уважаемого Николая Ивановича.
Это предложение сразу же поддержал ректор.
- Полагаю то же, - сказал он, - и предлагаю в оную комиссию Ивана Михайловича, Александра Яковлевича и Николая Дмитриевича.
Так и решили: Симонову, Купферу и Брашману рассмотреть "Сжатое изложение начал" и представить отзыв о нем отделению.
Лобачевский, ни с кем не прощаясь, направился к выходу Никто не сделал попытки задержать его. Вскоре, одевпшсь и выйдя на улицу, он почувствовал себя совсем опустошенным. Только тупая боль где-то глубоко в сердце напоминала, что свершилось нечто ужасное.
Вьюга все еще бушевала.
Снег снег вокруг... Исчезали и выплывали снова быстролетные кони с развевающимися по ветру длинными гривами с отчаянно заливистым звоном бубенцов.
