Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами по­лучено ранее. Поскольку m(w20-w2) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если (w2>w20). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(w20-w2); этот множитель становится очень большим, если w приближается к w0. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную ча­стоту w (если с нужной частотой толкать подвешенный на ве­ревочке маятник, то он поднимается очень высоко).

§ 2. Вынужденные колебания с торможением

Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику на­до использовать тогда, когда решаются более сложные зада­чи. Перейдем поэтому к одной из таких задач, которая, кроме того, ближе к действительности, чем предыдущая. Из уравне­ния (23.5) следует, что, если w в точности равна w0, амплитуда колебания становится бесконечной. Этого, конечно, не может быть, потому что многие вещи, например трение, ограничи­вают амплитуду, а мы их не учитывали. Изменим теперь (23.2) так, чтобы учесть трение.

Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы тре­ния очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна скорости движения объекта. Именно такое трение препятствует медленному движению тела в масле или другой вязкой жидкости. Когда предмет стоит на месте, на него не действуют никакие силы, но чем скорее он движется и чем быстрее масло должно обтекать этот предмет, тем больше сопротивление. Таким образом, мы предположим, что в (23.2), кроме уже написанных членов, су­ществует еще один — сила сопротивления, пропорциональная скорости: Ff=-c(dx/dt). Удобно записать с как произведение m на другую постоянную g, это немного упростит уравнение.

Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mw20, чтобы упростить вычисления. Итак, наше уравнение имеет вид

или, если положить с=mg и k=mw20 и поделить обе части на m,

Это самая удобная форма уравнения. Если g очень мало, то мало и трение, и, наоборот, большие значения g соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна F0cos(wt+D); можно было бы подставить это выражение в (23.6а) и попытаться ре­шить полученное уравнение, но мы применим наш новый метод. Представим F как действительную часть , a x — как действительную часть и подставим эти комплексные числа в (23.6а). Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в

[Если бы мы попытались решить (23.6а) старым прямолиней­ным способом, то оценили бы по достоинству магический «комп­лексный» метод.] Поделив обе части уравнения на exp(iwt), найдем отклик осциллятора на силу

Итак, отклик x равен силе F, умноженной на некоторый множи­тель. Этот множитель не имеет ни названия, ни какой-то своей собственной буквы, и мы будем обозначать его буквой R:

тогда

Этот множитель можно записать либо как p+iq, либо как рехр(iq). Запишем его в виде рехр(iq) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — это действительная часть числа F0ехр(iD)ехр(iwt), она равна F0cos(wt+D). Уравне­ние (23.9) говорит нам, что отклик равен ; мы условились

писать R в виде R=rехр(iq); следовательно,

Вспомним (об этом уже говорилось), что физическое значение х, равное действительной части комплексного числа х, равно дей­ствительной части rF0exp[i(q+D)]exp(iwt). Но r и F0 — действительны, а действительная часть ехр[i(q+D+wt)] — это просто cos(wt+D+q). Таким образом,

x=rF0cos(wt+D+q). (23.10)

Это значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы F, умноженной на коэффициент усиления r; мы нашли «размах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна D, а у x; она сдвинута на дополни­тельную величину q. Следовательно, r и q — это величина и фазовый сдвиг отклика.

Найдем теперь значение r. Квадрат модуля любого комп­лексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е.

Можно найти и фазовый угол q

значит,

Знак минус возник оттого, что tg(-q) =-tgq. Угол q отрицате­лен при всех значениях w, т. е. смещение х отстает по фазе от силы F.

На фиг. 23.2 показано, как изменяется r2 при изменении час­тоты (r2 для физика интереснее, чем r, потому что r2 пропорцио­нально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии, которую передает осциллятору внешняя сила).

Фиг.23.2. График зависимости r2 от w.

Очевидно, что если g мало, то основной член в (23.11) — это 1/(w20-w2)2, и отклик стремится к бесконечности, если w приближается к w0. Но эта «бесконеч­ность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если w=w0, то все еще остается слагаемое 1/g2w2. Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фиг. 23.3.

Фиг. 23.3. График зависимости q от w.

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отли­чающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, не­смотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение g очень мало, то наи­более интересная область резонансной кривой лежит около частоты w=w0, а здесь при малых g формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку w20-w2=(w0-w)(w0+w), то для w, очень близких к w0, разность квадратов почти равна 2w0(w0-w), a gw можно заменить на gw0. Значит, w20-w2+gw»2w0(w0-w+ig/2) и

Легко найти и r2:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты зна­чение r2 сначала растет, достигает при w0 максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от w0 расположены часто­ты, которым соответствуют значения r2, вдвое меньшие мак­симального? Покажите, что при очень малом g эти точки от­стоят друг от друга на расстояние Dw=g. Это значит, что ре­зонанс делается более острым по мере того, как влияние тре­ния становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «доброт­ность» q=wo/g (чем уже резонанс, тем больше Q); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q=5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется доволь­но часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвя­тим остаток главы.

§ 3. Электрический резонанс

Простейшие и самые широкие технические применения резо­нанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элементами цепи, и бывают они трех типов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку эле­ментов других типов. Прежде чем подробно описать эти элементы, заметим, что наше представление о механическом осцилляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пружина тоже инерционна. Точно так же «пружина» не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, она слегка изгибается под толчками пружины. Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по «элемен­там цепи» с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пре­делы таких приближений, мы просто предположим, что они до­пустимы.

Итак, о трех элементах цепи. Первый называется емкостью (фиг. 23.4); в качестве примера емкости могут служить две ме­таллические пластинки, разделенные тонким слоем диэлект­рика.