Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

§ 2. Конденсатор на больших частотах

А теперь обсудим подробнее поведение конденсатора — гео­метрически идеального конденсатора,—когда частота становится все выше и выше. Мы проследим за изменением его свойств. (Мы предпочли рассматривать конденсатор, а не индуктивность, по­тому что геометрия пары обкладок много проще геометрии ка­тушки.) Итак, вот конденсатор (фиг. 23.4, а), состоит он из двух параллельных круговых обкладок, соединенных с внешним ге­нератором парой проводов. Если зарядить конденсатор посто­янным током, то на одной из обкладок появится положительный заряд, на другой — отрицательный, а между обкладками будет однородное электрическое поле.

Фиг. 23.4. Электрическое и магнитное поля между обкладками конденсатора.

Представим теперь, что вместо постоянного тока к обкладкам приложено переменное напряжение низкой частоты. (После мы увидим, какая частота «низкая», а какая «высокая».) Конденса­тор, скажем, соединен с низкочастотным генератором. Когда напряжение меняется, то с верхней обкладки положительный заряд убирается и прикладывается отрицательный. В момент, когда это происходит, электрическое поле исчезает, а потом восстанавливается, но уже в обратную сторону. Заряд медленно плещется туда-сюда, и поле поспевает за ним. В каждый момент электрическое поле однородно (фиг. 23.4, б); есть, правда, не­большие краевые эффекты, но мы намерены ими пренебречь. Ве­личину электрического поля можно записать в виде

(23.2)

где Е0— постоянно. Но останется ли это справедливым, когда частота возрастет? Нет, потому что при движении электрического поля вверх и вниз через произвольную петлю Г1 проходит поток электрического поля (фиг. 23.4, а). А, как вам известно, изменяющееся элект­рическое поле создает магнитное. Согласно одному из уравнений Максвелла, при наличии изменяющегося электрического поля (как в нашем случае) обязан существовать и криволинейный ин­теграл от магнитного поля. Интеграл от магнитного поля по замкнутому кругу, умноженный на с2, равен скорости измене­ния во времени электрического потока через поверхность внутри круга (если нет никаких токов):

(23.3)

Итак, сколько же здесь этого магнитного поля? Это узнать не­трудно. Возьмем в качестве петли Г1 круг радиуса r. Из симмет­рии ясно, что магнитное поле идет так, как показано на рисун­ке. Тогда интеграл от В равен 2prВ. А поскольку электрическое поле однородно, то поток его равен просто Е, умноженному на pr2, на площадь круга:

(23.4)

Производная Е по времени в нашем переменном поле равна iwE0eiwt, Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно

(23.5)

Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величи­на пропорциональна w и r.

К какому эффекту это приведет? Когда существует магнит­ное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электри­ческие поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усилива­ется: оно пропорционально скорости изменения Е, т. е. w. Им­педанс конденсатора больше не будет просто равен 1/iwС.

Будем увеличивать частоту и посмотрим повниматель­нее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое пле­щется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеет­ся изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бы­вает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с r, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.

Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е1, и пусть оно по-прежнему равно Е0еiwt, а правильное поле запишем в виде

где E2— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E0eiwt(тем самым определяя Е0), так что в центре поправки не будет: E2=0 при r=0.

Чтобы найти Е2, можно использовать интегральную форму закона Фарадея

Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вер­тикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е1вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е2, и интеграл равен просто —Ez(r)h, где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г2 (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток

Полагая — d/dt от потока равным контурному интегралу от E2, получаем

Фиг. 23.5. Электрическое по­ле между обкладками конден­сатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.

Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для В(r) формулу (23.5), получаем

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:

(23.7)

Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е1+Е2тогда равно

(23.8)

Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однород­но; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.

Наши результаты можно использовать для того, чтобы под­считать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что про­изойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчи­тали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В1, а (23.5) перепишем в виде

(23.9)

Вспомните, что это поле появилось от изменения Е1 . А правиль­ное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е1+Е2 . Если магнитное поле представить в виде В=В1+В2 , то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Ег. Чтобы узнать В2 , надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчиты­вали В1: контурный интеграл от B2 вдоль кривой Г1 равен ско­рости изменения потока Е2 через Г1. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В2 , а Е — на E2:

Поскольку Е2 с радиусом меняется, то для получения его пото­ка надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г1 . Беря в качестве элемента площади 2prdr, напишем этот интеграл в виде

Значит, В2(r) выразится так:

(23.10)

Подставляя сюда Е2(r) из (23.7), получаем интеграл от r3dr, который равен, очевидно, r4/4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной