Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
На самом деле и скорости молекул неодинаковы; они распределены по Максвеллу. Это означает, что идеальные периоды времени для разных молекул окажутся различными, и невозможно получить к. п. д., равный 100%, сразу для всех молекул. Вдобавок имеется еще одно усложнение, которое, правда, легко принять во внимание, но на этой стадии мы не будем им заниматься. Вы помните, что электрическое поле обычно меняется в полости от места к месту. Когда молекулы дрейфуют вдоль полости, электрическое поле близ молекул меняется как-то очень сложно, сложнее, чем предположенное нами обычное синусоидальное колебание. Ясно, что для точного решения задачи следовало бы воспользоваться более сложными интегрированиями, но общая идея остается прежней.
Можно мазеры устраивать и иначе. Не отделять прибором Штерна — Герлаха атомы в состоянии |I> от атомов в состоянии |II>, а собрать атомы в какой-то полости (в газообразном или твердом виде) и как-то переселить их из состояния |II> в состояние |I>. Один такой способ применяется в так называемом трехуровневом мазере. Для него используются атомные системы с тремя уровнями энергии (фиг. 7.6) и со следующими специальными свойствами.
Фиг. 7.6. Уровни энергии «трехуровневого» мазера.
Система поглощает излучение (скажем, свет) с энергией hw1и переходит от низшего уровня энергии ЕIIк какому-то более высокому уровню Е', а затем быстро испускает фотоны с энергией hw2 и переходит в состояние |/> с энергией ЕI. У состояния |I> большое время жизни, так что его населенность может возрасти; создаются условия, благоприятствующие работе мазера между состояниями |I> и |II>. Хотя такой прибор называют «трехуровневым» мазером, но сама мазерная процедура на самом деле происходит так же, как и у описанной нами двухуровневой системы.
Лазер — это всего-навсего мазер, действующий на световых частотах. «Полость» лазера обычно состоит попросту из двух зеркал, между которыми генерируются стоячие волны.
§ 5. Переходы вне резонанса
Наконец, хотелось бы выяснить, как изменяются состояния в условиях, когда частота полости, хотя и близка к w0, но не совпадает с ней. Эту задачу можно было бы решить точно, но мы не будем пытаться это делать, а обратимся к важному случаю малого электрического поля и малого промежутка времени Т, так что mx0T/h много меньше единицы. Тогда даже в случае уже изученного нами идеального - резонанса вероятность перехода очень мала. Будем исходить опять из того, что gI=1 и gII=0. Тогда мы вправе ожидать, что в течение всего времени Т наша величина gI останется близкой к единице, а gII будет малой по сравнению с единицей, и задача облегчается. Из второго уравнения (7.45) мы можем подсчитать gII, принимая gIравной единице и интегрируя от t=0 до t=T. Получается
Это та величина gII, которая стоит в (7.40), и она дает амплитуду того, что переход из состояния |I> в состояние |II> произойдет за время Т. Вероятность Р (I®II) такого перехода равна
|gII|2, или
Интересно начертить эту вероятность при фиксированном времени T как функцию частоты полости, чтобы посмотреть, насколько чувствительна она к частотам близ резонансной частоты w0. Кривая Р (I®II) показана на фиг. 7.7.
Фиг. 7.7. Вероятность перехода для молекулы аммиака как функция частоты.
(Вертикальная шкала была подогнана так, чтобы в пике была единица, для этого разделили на величину вероятности при w=w0.) С подобными кривыми мы встречались в теории дифракции, так что они должны быть вам знакомы. Кривая довольно резко падает до нуля при
(w-w0)=2p/T и никогда при больших отклонениях частоты снова не достигает заметной величины. Почти вся площадь под кривой лежит в пределах ±p/T. Можно показать [с помощью формулы
что площадь под кривой равна 2p/T и совпадает с площадью выделенного штрихованной линией прямоугольника.
Посмотрим, что это дает для реального мазера. Возьмем разумное время пребывания молекулы аммиака в полости, скажем 1 мсек. Тогда для f0=24000 Мгц можно подсчитать, что вероятность падает до нуля при отклонениях (f-f0)/f0=1/f0T, т. е. порядка 5·10-8. Очевидно, что для заметных вероятностей перехода частоты должны очень точно совпадать с w0. Этот эффект является основой той большой точности, которой можно достичь в «атомных» часах, работающих на принципе мазера.
§ 6. Поглощение света
Наше изложение применимо и к более общему случаю, чем аммиачный мазер. Мы ведь изучали поведение молекулы под влиянием электрического поля независимо от того, заключено оно в полость или нет. Просто можно было направить пучок «света» — микроволновой частоты — на молекулу и искать вероятность испускания или поглощения. Наши уравнения ничуть не хуже применимы и к этому случаю, но только лучше переписать их на языке интенсивности излучения, а не электрического поля. Если определить интенсивность как средний поток энергии через единицу площади в секунду, то из гл. 27 (вып. 6) следует
(Максимум x равен 2x0.) Вероятность перехода принимает вид
Обычно свет, освещающий подобную систему, не точно монохроматичен. Поэтому интересно решить еще одну задачу— подсчитать вероятность перехода, когда интенсивность света на единицу интервала частот равна и покрывает собой широкую полосу, включающую w0. Тогда вероятность перехода от |I> к |II> обратится в интеграл
Как правило, меняется с w медленнее, чем острый резонансный фактор. Эти две функции могут выглядеть так, как показано на фиг. 7.8.
Фиг. 7.8. Спектральная интенсивность может быть представлена своим значением при w0.
В таких случаях можно заменить ее значением в центре острой резонансной кривой и вынести из-под интеграла. Оставшийся интеграл — это просто площадь под кривой на фиг. 7.7, которая, как известно, равна 2p/Т. Мы приходим к результату
Это очень важный результат; перед нами общая теория поглощения света любой молекулярной или атомной системой. Хотя мы вначале считали, что состояние |I> обладает более высокой энергией, чем состояние |II>, но никакие наши рассуждения от этого не зависели. Уравнение (7.55) соблюдается и тогда, когда энергия состояния |I> ниже энергии состояния |II>; тогда Р (I®II) представляет собой вероятность перехода с поглощением энергии от падающей электромагнитной волны. Поглощение атомной системой света всегда предполагает, что имеется амплитуда для перехода в колеблющемся электрическом поле между состояниями, отличающимися на энергию E=hw0. В каждом отдельном случае она рассчитывается так же, как мы это проделали, и дает выражения наподобие (7.55). Поэтому мы подчеркнем следующие свойства этой формулы. Во-первых, вероятность пропорциональна Т. Иными словами, существует неизменная вероятность на единицу времени, что переход произойдет. Во-вторых, эта вероятность пропорциональна интенсивности света, падающего на систему. В-третьих, вероятность перехода пропорциональна m2, где, как вы помните, mx определяет энергетический сдвиг, вызываемый электрическим полем x. По этой именно причине mx появлялось и в уравнениях (7.38) и (7.39) в качестве коэффициента связи, ответственного за переход между стационарными состояниями |I> и |II>. Иными словами, для рассматривавшихся нами малых x член mx есть так называемое «возмущение» в матричном элементе гамильтониана, связывающем состояния |/> и |//>. В общем случае mx заменилось бы матричным элементом <II|H|I> (см. гл. 3, § 6).
В гл. 42, § 5 (вып. 4) мы говорили о связи между поглощением света, вынужденным испусканием и самопроизвольным испусканием в терминах введенных Эйнштейном коэффициентов А и В. Здесь наконец-то в наших руках появляется квантовомеханическая процедура для подсчета этих коэффициентов. То, что мы обозначили Р (I®II) для нашей аммиачной двухуровневой молекулы, в точности соответствует коэффициенту поглощения Bnmв эйнштейновской теории излучения. Из-за сложности молекулы аммиака — слишком трудной для расчета — нам пришлось взять матричный элемент <II|H|I> в виде mx и говорить, что m извлекается из опыта. Для более простых атомных систем величину mmn, отвечающую к произвольному переходу, можно подсчитать, исходя из определения
