Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
или после перестановки членов
У такой системы однородных алгебраических уравнений ненулевые решения для а1 и а2 будут лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при а1и а2, равен нулю, т. е. если
Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a1 и а2, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем
а из (7.21)
Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовлетворять равенству
(E-H11)(E-H22)-H12H21=0.
То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:
Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они вещественны, потому что Н11и H22 вещественны, а Н12Н21, равное Н12H12=|H12|2, тоже вещественно, да к тому же положительно.
Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию EI, а меньшую ЕII. Имеем
Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внешних возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.
Наши результаты можно проверить на двух частных случаях. Если H12=H21=0, то получается EI=H11 и EII=H22. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энергией H11 и H22. Далее, положив H11=H22=E0 и H21=H12=-А, придем к найденному выше решению:
еI=е0+а и еII=е0-а.
В общем случае два решения ЕIи ЕIIотносятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями
У этих состояний С1и С2будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где а1и а2 еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что система находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в |1>или |2>, должна равняться единице. Следовательно,
или, что то же самое,
Эти условия не определяют а1и а2 однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа еid. Хотя для а можно выписать общие решения, но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.
Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле. Пользуясь значениями Н11, H22 и Н12из (7.14) и (7.15), мы получим для энергий двух стационарных состояний выражения
Эти две энергии как функции напряженности x электрического поля изображены на фиг. 7.2.
Фиг. 7,2. Уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле.
Кривые построены по формулам (7.30):
Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Е0±А. При наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва при малых x оно растет медленно, но затем может стать пропорциональным $. (Эта линия — гипербола.) В сверхсильных полях энергии попросту равны
Тот факт, что у азота существует амплитуда переброса вверх — вниз, малосуществен, когда энергии в этих двух положениях сильно отличаются. Это интересный момент, к которому мы позже еще вернемся.
Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии |I> от молекул в состоянии |II>. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии |I> пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергию полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии |II>. Каждая молекула, совершившая такой переход, передаст полости энергию E=EI-ЕII. Энергия, отобранная у молекул, проявится в виде электрической энергии полости.
Как же разделить два молекулярных состояния? Один способ такой. Аммиачный газ выпускается тонкой струйкой и проходит через пару щелей, создающих узкий пучок (фиг. 7.3).
Фиг. 7.3. Пучок молекул аммиака может быть разделен электрическим полем, в котором x2 обладает градиентом, перпендикулярным пучку.
Затем пучок пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле. Создающие поле электроды изогнуты так, чтобы электрическое поле поперек пучка резко менялось. Тогда квадрат x·x электрического поля будет иметь большой градиент, перпендикулярный пучку. А у молекулы в состоянии |/> энергия с x2растет, значит, эта часть пучка отклонится в область меньших x2. Молекула же в состоянии |II>, наоборот, отклонится к области, где x2побольше, потому что ее энергия падает, когда x2растет.
Кстати, при тех электрических полях, которые удается генерировать в лаборатории, энергия mx всегда много меньше А. В этом случае корень в уравнении (7.30) приближенно равен
Во всех практических случаях энергетические уровни, стало быть, равны
и
и энергии с x2меняются линейно. Действующая на молекулы сила тогда равна
Энергия в электрическом поле у многих молекул пропорциональна x2. Коэффициент — это поляризуемость молекулы. Поляризуемость аммиака необычно высока: у него А в знаменателе очень мало. Стало быть, молекулы аммиака очень чувствительны к электрическому полю.
§ 3. Переходы в поле, зависящем от времени
В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии |7> и с энергией ЕIпропускается через резонансную полость, как показано на фиг. 7.4.
Фиг. 7.4. Схематическое изображение аммиачного мазера.
Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведения молекулы в электрическом поле, которое меняется во времени. Это совершенно новый род задач — задача с гамильтонианом, меняющимся во времени. Раз Htjзависит от x, то и Hijменяется во времени, и нам надлежит определить поведение системы в этих обстоятельствах.
Для начала выпишем уравнения, которые нужно решить:
Для определенности положим, что электрическое поле меняется синусоидально; тогда можно написать
На самом деле частота w берется всегда очень близкой к резонансной частоте молекулярного перехода w0=2A/h, но пока мы для общности будем считать w произвольной. Лучший способ решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C1и С2 линейные комбинации. Сложим поэтому оба уравнения, разделим на у 2 и вспомним определения СIи СIIиз (7.13), Получим
Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая уравнения (7.36), получаем
Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труднее, чем прежде, потому что x зависит от t; и действительно, при общем x (t)решение не представимо в элементарных функциях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем
