Александр Филиппов - Многоликий солитон
В этом выражении для величины l0 под корнем написана безразмерная величина, равная отношению неких двух энергий. Выясним смысл этих энергий. Вспоминая, что v0 = , представим mv02 как kα2. Эта величина пропорциональна энергии, необходимой для растяжения пружины на величину порядка α. В знаменателе стоит произведение силы f0 на расстояние α, что, очевидно, пропорционально работе, которую надо затратить на преодоление барьера, отделяющего одну ямку от другой. Таким образом, l0 увеличивается при увеличении жесткости пружин и уменьшении силы со стороны «подкладки», привязывающей атомы к определенным местам. В дальнейшем будем считать, что упругая энергия kα2 значительно превосходит f0α, и, таким образом, величина l0 α.
Теперь посмотрим на окончательное выражение для функции φ(t, х), описывающей дислокацию
Эта функция представлена на рис. 6.3, б. На рис. 6.3, α изображена кривая зависимости φ от х в момент t = 0. Вдали от центра дислокации, расположенного в точке х = 0, атомы расположены вблизи положений равновесия, т. е. φ π или φ -π. Атомы находятся далеко от положений равновесия лишь на расстояниях lv от центра. Мы можем поэтому называть lv полушириной дислокации или просто ее размером:
Если скорость дислокации равна нулю, то ее размер lv = l0 зависит лишь от характеристик решетки. Размер равномерно движущейся дислокации tv с увеличением скорости уменьшается, причем это уменьшение определяется формулой
напоминающей преобразование длины при переходе в движущуюся систему координат в специальной теории относительности, только вместо скорости света с
в ней стоит скорость звука v0. Эту аналогию с теорией относительности можно провести достаточно далеко. Можно показать, что энергия Е и импульс р движущейся дислокации также выражаются формулами «теории относительности»
Таким образом, быстро движущиеся дислокации подчиняются не механике Ньютона, а механике специальной теории относительности. При малой скорости движения дислокации (v2/v02 1) можно пользоваться обычной нерелятивистской теорией.
Эта модель, вероятно, очень понравилась бы Джозефу Лармору (1857—1942), считавшему частицы чем-то вроде дислокаций в эфире. Правда, его теория намного сложнее, но суть дела именно такая. С интересом отнесся бы к этой модели и Пуанкаре. В своем докладе «Новая механика» (1909 г.) он говорил: «Инерцией обладает не материя, а эфир; он один оказывает сопротивление движению, так что можно было бы сказать: нет материи, есть только дыры в эфире». В конце этой книги мы познакомимся с некоторыми современными идеями, связывающими элементарные частицы с солитонами некоторых нелинейных полей, играющих в какой-то степени роль эфира.
Во что превратились звуковые волны
Итак, мы уже поняли, что солитоны перемещаются со скоростями, меньшими v0. А как же с обычными звуковыми волнами — могут ли они распространяться в среде, смоделированной Френкелем и Конторовой?
Возвратимся к уравнению (6.2). Даже для волн очень малой амплитуды его правую часть отбросить нельзя. Можно только приближенно заменить ее на -2πf0(yn/α). Тогда сразу видно, что yn(t) будет изменяться по синусоидальному закону, если величина «эффективной массы» m• отрицательна. При положительной эффективной массе никаких колебаний yn(t) не получится (вспомните гл. 4!). Предположим поэтому, что m• 0. Тогда из формулы (6.3) следует, что скорость распространения волны v должна быть больше v0, т. е. больше чем в свободной цепочке атомов! Не противоречит ли это только что сделанным вычислениям? Конечно, нет. Скорость v — это фазовая скорость волны, и мы сейчас увидим, что скорость группы волн оказывается всегда меньше v0.
Итак, подставим в формулу (6.2) соотношение (6.3) и заменим sin [2π (yn/α)] на 2π (yn/α). Для уn(t) получаем тогда уравнение малых (линейных) колебаний
Решения этого уравнения, например
уn(t) = уn(tn) соs [ω(t - tn)],
описывают, как и раньше, бегущие волны. Вспоминая рассуждения, приведенные при выводе формулы (6.5), представим волну смещения атомов в виде
у(t, х) = у0 соs [ω(t - x/v)].
Зависимость круговой частоты волны ω от фазовой скорости определяется формулой (6.8). Из условия связи длины волны с частотой и скоростью, т. е. из обычного соотношения λ = v/ = 2πv/ω, легко находим зависимость фазовой скорости от длины волны:
Упражнение: получите формулы (6.8), (6.9), воспользовавшись формулами (6.2), (6.3). Найдите групповую скорость и из формулы (5.23).
О т в е т:
Зависимость скорости v от длины волны λ изображается хорошо изученной нами кривой — гиперболой. Обозначив v/v0 = X и λ/λ0 = Y, можно записать уравнение (6.9) в более знакомом и приятном виде как Y2 - Х2 = 1. Как мы уже убедились в гл.4, точки этой кривой можно находить с помощью циркуля и линейки. Это построение выполнено на рис. 6.4, где
введены обозначения X1 = λ1/λ0 , Y1 = v1/v0, 1/Y1 = u1/v0, λ1 — интересующее нас значение длины волны, v1 — соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u1 = v02/v1 — значение групповой скорости.
Упражнение: выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А1 подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С1 равны ω0/ω1 и u1/v0 = v0/v1, где ω1 — значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ1.
Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы
которая легко получается заменой в формуле (6.9) отношения v/v0 на (λω/λ0ω0).
Отсюда сразу видно замечательное свойство этого закона дисперсии — частота распространяющихся по цепочке волн всегда выше частоты ω0, с которой колебался бы каждый атом цепочки вблизи своего положения равновесия, если бы он находился только под действием «подкладки». Физически очевидно, что частота ω0 достигается при очень большой длине волны, когда соседние атомы смещаются без изменения относительно расстояния (как твердое тело). При этом пружины настолько слабо деформируются, что их как бы и нет.
Другое свойство закона дисперсии (6.9) роднит его с гравитационными волнами на глубокой воде. Мы видим, что фазовая скорость v(λ) увеличивается с увеличением длины волны. Правда, эта зависимость несколько иная — скорость очень длинных волн на воде пропорциональна , а скорость волн смещения пропорциональна λ (при λ λ0). Тем не менее можно считать, что природа прохождения дисперсии в обоих случаях качественно сходна. Во всяком случае, найденная нами дисперсия волн смещения в атомной цепочке не связана с ее дискретной структурой, которая может проявиться лишь при очень малых длинах волн, порядка постоянной решетки α.
При выводе закона дисперсии мы, в сущности, с самого начала пренебрегали дискретной структурой, предполагая, что α λ и α λ0. Нетрудно проверить, что λ0 = 2πl0 (проверьте!). Поэтому при α λ0 будет также выполнено условие α l0, т. е. размер дислокации l0 должен быть большим по сравнению с межатомным расстоянием. Отсюда ясно, что дефект по Френкелю, размер которого примерно равен α, нельзя описать с помощью изложенной здесь теории. Если, однако, не гнаться за точностью, то можно считать дефект по Френкелю просто дислокацией малого размера l0, сравнимого с α. Описание при этом будет качественно правильным.
