Александр Филиппов - Многоликий солитон
Ч и т а т е л ь. Нет-нет! Довольно сложностей! Скажите только, почему Ваши «мезонные волны» должны обязательно диспергировать? И потом, все-таки не понятно, какое отношение имеют эти волны к мезонам. Мезоны ведь частицы?
А в т о р. Отвечу сначала на второй вопрос. Правда, точный ответ на него возможен лишь в квантовой теории. Мезон — это квант мезонного поля, точно так же, как фотон — квант электромагнитного поля. Если это непонятно, то можете себе представлять фотон как группу электромагнитных волн, а мезон как группу «мезонных волн». Тогда Вы сразу получаете ответ на первый вопрос: дисперсия нужна для того, чтобы групповая скорость отличалась от фазовой. Фотон — это частица с нулевой массой, скорость такой частицы всегда равна скорости света. Мезон — частица с конечной массой (π-мезон примерно в 270 раз тяжелее электрона), и закон дисперсии должен быть таким, что группа волн движется как частица с такой массой. Учтите только, что этот ответ неполный, а по существу даже и неправильный. Правильный ответ можно дать только в квантовой теории.
Для понимания соотношения между полем и солитоном, напротив, не требуется никакой квантовой теории, и я постараюсь больше не вспоминать ни о каких квантах. Давайте действительно вернемся к солитонам. Я покажу, как основные свойства солитона Френкеля можно получить на точном языке математики. При этом Вы увидите, что все опять сводится к движению маятников, точнее, к асимптотическим движениям маятника (вспомните рис. 4.14). Надеюсь, Вы еще не забыли, что это такое?
Ч и т а т е л ь. Признаться, я не очень внимательно прочел главу о маятнике. Она мне показалась слишком длинной. К тому же я не понимаю, как Вы хотите связать дислокацию с маятником. Понятно, что каждую частицу в ямке можно считать маятником. Однако когда дислокация стоит на месте, грузики неподвижны, речь, по-моему, может идти не о колебаниях, а о равновесии маятников, связанных пружинами... Впрочем, если дислокация движется, то грузики действительно ведут себя как маятники, делающие одно полное колебание. Только почему оно асимптотическое?
А в т о р. Я мог бы ответить на этот вопрос, но давайте лучше сначала уточним модель и напишем некоторые формулы.
Признаюсь, что я пока немного обманывал Вас, выдавая за модель Френкеля — Конторовой более наглядную, но и более сложную систему. Теперь займемся настоящей моделью Френкеля — Конторовой.
Если Вы хотите по-настоящему понять, как устроен хотя бы один солитон, попробуйте разобраться в следующих двух параграфах, возвращаясь время от времени к формулам, описывающим маятник и движения грузиков в пружинной модели. Если у Вас нет желания заниматься этой работой, можно бегло просмотреть эти параграфы. Советую все же постараться понять, что изображено на рис. 6.3 и 6.4 и обратить внимание на закон дисперсии волн в модели Френкеля — Конторовой.
Дислокации и маятники
В настоящей модели ФК атомы, естественно, движутся по прямой (ось х) и все силы, действующие на них, направлены также по оси х. Действие соседних атомов верхнего слоя представим, как всегда, пружинами, а действие атомов нижнего слоя («подкладки») описывается периодической синусоидальной силой
f(х) = -f0 sin (2πx/α).
Как и в предыдущей главе, обозначим отклонение n-го атома от положения равновесия функцией yn(t) = xn(t) - nα, где xn(t) — координата n-го атома. Со стороны «подкладки» на n-й атом действует сила
Пружины действуют на n-й атом с силой, равной
k (yn+1 - yn) - k (yn - yn-1).
Уравнение движения n-го атома поэтому принимает вид
Если f0 = 0, то мы получаем уравнение (5.8), уже изученное раньше.
Итак мы получили уравнение (6.1), соответствующее модели Френкеля — Конторовой. Сейчас мы найдем решение этого уравнения, описывающее движущуюся дислокацию. Читателя, разобравшегося в предыдущей главе, уже не смущает что это не одно уравнение, а бесконечная система уравнений. Мы знаем что движущаяся дислокация подобна волне, бегущей по цепочке маятников, в которой каждый маятник с некоторым запаздыванием точно повторяет все движения предыдущего. Время этого запаздывания Δt определяется скоростью перемещения волны v = α/Δt. Таким образом (вспомните рис. 5.7)
Смещения yn (t + Δt) можно найти, считая движение атома от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным. Тогда, как мы уже писали,
Подставляя это в уравнение (6.1), получаем замечательно простое уравнение
Присмотримся к этому уравнению повнимательнее. Если отвлечься от обозначений, то видно, что оно почти совпадает с уравнением маятника, о котором так много говорилось в гл. 4. Когда периодической силы не было, т. е. f0 = 0, мы должны были положить m = k (Δt)2, откуда и определили скорость распространения звука в свободной цепочке:
Теперь квадратная скобка не равна нулю. Перепишем ее в виде
Теперь ясно, что при медленном движении дислокации, когда v v0, квадратная скобка отрицательна, а определенная нами эффективная масса m•, зависящая от скорости v, положительна.
Легко свести уравнение (6.2) к уравнению маятника (4.1). Вспомним, что sin (π + φ) = -sin φ, и положим 2π(yn/α) = π + φn, т. е. будем измерять отклонение атома от положения равновесия «углом» φn. Если атом остался на месте, то yn = 0 и φn = -π. Если он смещается вправо, то угол φn возрастает и при yn = α принимает значение +π. Таким образом, переходу атома со дна одной «ямки» на дно другой соответствует асимптотическое движение «маятника». При таком изменении обозначений уравнение движения (6.2) можно записать в виде (проверьте это!)
Движение «маятника» по сепаратрисе, когда φn (t) изменяется от -π до +π, мы уже определили раньше (вспомним формулу (4.9) и рис. 4.10). Напишем эту формулу еще раз:
Так как маятники качаются с запаздыванием, мы выбрали свое начало отсчета времени tn для каждого из маятников. Поскольку смещение атомов от ячейки к ячейке распространяется со скоростью v = α/Δt, надо взять tn = nΔt. Тогда φ1(t) = φ0(t - Δt), и вообще φn(t) = φ0(t - nΔt).
Выразим теперь tn через скорость дислокации, т. е. tn = nα•(Δt/α) = nα/v, и заменим nα на х. Будем писать соответственно φn(t) = φ(t, х), где х = nα. Тогда функцию φ(t, х), описывающую движущуюся дислокацию, можно записать в виде
φ(t, х) = π - 4 arctg [e-ω(t - x/v)].
Эта функция определяет форму дислокации в любой момент времени:
yn(t) = α/2 + (α/2π) φ (t, nα).
Удобно записать показатель экспоненты в форме (х - vt)/lv, где lv = v/ω. Вспоминая определения «частоты» ω и «массы» m• (см. формулы (6.4) и (6.3)), после простых преобразований получаем
В этом выражении для величины l0 под корнем написана безразмерная величина, равная отношению неких двух энергий. Выясним смысл этих энергий. Вспоминая, что v0 = , представим mv02 как kα2. Эта величина пропорциональна энергии, необходимой для растяжения пружины на величину порядка α. В знаменателе стоит произведение силы f0 на расстояние α, что, очевидно, пропорционально работе, которую надо затратить на преодоление барьера, отделяющего одну ямку от другой. Таким образом, l0 увеличивается при увеличении жесткости пружин и уменьшении силы со стороны «подкладки», привязывающей атомы к определенным местам. В дальнейшем будем считать, что упругая энергия kα2 значительно превосходит f0α, и, таким образом, величина l0 α.
