Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

«Наклон» поля мы обычно характеризуем «относительным градиентом», или индексом поля n

(29.2)

Направляющее поле создает радиальную фокусировку, если относительный градиент будет больше -1.

Радиальный градиент поля приведет также к вертикальным силам, действующим на частицу. Предположим, мы имеем поле, которое вблизи центра орбиты сильнее, а снаружи слабее. Вертикальное поперечное сечение магнита под прямым углом к орбите может иметь такой вид, как показано на фиг. 29.12. (Причем протоны летят на нас из страницы.) Если нам нужно, чтобы поле было сильнее слева и слабее справа, то магнитные силовые линии должны быть искривлены подобно изображен­ным на рисунке. То, что это должно быть так, можно уви­деть из закона равенства нулю циркуляции В в пустом прос­

транстве. Если выбрать систему координат, показанную на рисунке, то

или

(29.3)

Фиг. 29.12. Вертикаль­но фокусирующее поле.

Вид в поперечном сечении, перпендикулярном к орбите.

Поскольку мы предполагаем, что дВz/дх отрицательно, то рав­ным ему и отрицательным должно быть и дВх/дz. Если «номиналь­ной» плоскостью орбиты является плоскость симметрии, где Вх=0, то радиальная компонента Вхбудет отрицательной над плоскостью и положительной под ней. При этом линии должны быть искривлены так, как это изображено на рисунке.

Такое поле должно обладать вертикально фокусирующими свойствами. Представьте себе протон, летящий более или менее параллельно центральной орбите, но выше нее. Горизонтальная компонента В будет действовать на протон с силой, направлен­ной вниз. Если же протон находится ниже центральной орбиты, то сила изменит свое направление. Таким образом, возникает эффективная «восстанавливающая сила», направленная к центру орбиты. Из наших рассуждений получается, что при условии уменьшения вертикального поля с увеличением радиуса должна происходить вертикальная фокусировка. Однако если градиент поля положительный, то происходит «вертикальная дефоку­сировка». Таким образом, для вертикальной фокусировки индекс поля n должен быть меньше нуля. Выше мы нашли, что для ра­диальной фокусировки значение n должно быть больше -1. Комбинация этих двух условий требует для удержания частиц на стабильных орбитах, чтобы

-1<n<0.

В циклотронах обычно используется величина n, приблизитель­но равная нулю, а в бетатронах и синхротронах типичной вели­чиной является n=-0,6.

§ 7. Фокусировка чередующимся градиентом

Столь малые величины n дают довольно «слабую» фокусиров­ку. Ясно, что гораздо большую радиальную фокусировку можно было бы получить для большого положительного градиента (n>>1), но при этом вертикальные силы будут сильно дефокусирующими. Подобным же образом большой отрицательный наклон (n<<-1) давал бы большие вертикальные силы, но при этом вызывал бы сильную радиальную дефокусировку. Однако примерно 10 лет назад было установлено, что чередующееся дей­ствие областей с сильной фокусировкой и область с сильной дефокусировкой в целом приводят к фокусирующему эффекту.

Чтобы объяснить, как работает такая фокусировка, разбе­рем сначала действие квадрупольной линзы, которая устроена по тому же принципу. Представьте себе, что к магнитному полю, изображенному на фиг. 29.12, добавлено однородное отрицатель­ное магнитное поле, сила которого подобрана так, чтобы поле на орбите было равно нулю. Результирующее поле при малых смещениях от нейтральной точки будет напоминать изображенное на фиг. 29.13. Такой четырехполюсный магнит называется «квадрупольной линзой». Положительная частица, которая вхо­дит (со стороны читателя) справа или слева от центра, снова втягивается в центр. Если же частица входит сверху или снизу от центра, то она выталкивается из него. Это горизонтально-фокусирующая линза. Если теперь обратить горизонтальный градиент, что может быть сделано переменой всех полюсов на противоположные, то знак всех сил изменится на обратный и мы получим вертикально-фокусирующую линзу (фиг. 29.14). Напряженность поля у таких линз, а следовательно, и фокуси­рующая сила возрастают линейно с удалением от оси линзы.

Представьте себе теперь, что мы поставили подряд две такие линзы. Если частица входит с некоторым горизонтальным сме­щением относительно оси (фиг. 29.15, а), то она отклонится по направлению к оси первой линзы. Когда же она подходит ко второй линзе, то оказывается ближе к оси, где выталкивающая сила меньше, поэтому меньшим будет и отклонение от оси.

Фиг. 29.13. Горизонтально фокусирующая квадрупольная линза.

Фиг. 29.14. Вертикально-фокусирующая квадрупольная линза.

В ре­зультате же получится наклон к оси, т. е. в среднем их действие окажется горизонтально-фокусирующим. С другой стороны, если мы возьмем частицу, которая отклоняется от оси в верти­кальном направлении, то путь ее будет таким, как показано на фиг. 29.15, б. Частица сначала отклоняется от оси, а затем вхо­дит во вторую линзу с большим смещением, испытывая дейст­вие большей силы, в результате чего отклоняется к оси. В целом эффект снова будет фокусирующим. Таким образом, действие па­ры квадрупольных линз, действующих независимо в горизонталь­ном и вертикальном направлениях, очень напоминает действие оптической линзы. Квадрупольные линзы используются для формирования пучка частиц и контроля над ним в точности так же, как оптические линзы используются для светового пучка.

Нужно подчеркнуть, что переменно-градиентная система не всегда приводит к фокусировке. Если градиент слишком велик (по сравнению с импульсом частиц или с расстоянием между линзами), то результирующее действие будет дефокусирующим. Вы поймете, как это получается, если вообразите, что простран­ство между двумя линзами на фиг. 29.15 увеличилось в три или четыре раза.

А теперь вернемся к синхротронному направляющему маг­ниту. Можно считать, что он состоит из чередующейся последо­вательности «положительных» и «отрицательных» линз с нало­женным поверх них однородным полем. Однородное поле служит для удержания частиц в среднем на горизонтальной окружности (на вертикальное движение оно не влияет), а переменные линзы действуют на любую частицу, которая норовит сбиться с пути, подталкивая ее все время к центральной орбите (в среднем).

Существует очень хороший механический аналог, который демонстрирует, как переменная «фокусирующая и дефокусирующая» сила может привести в результате к «фокусирующему» эффекту. Представьте себе механический «маятник», состоящий из твердого стержня с грузиком, подвешенным на оси, которая с помощью кривошипа, связанного с мотором, может быстро

Фиг. 29.15. Горизонтальная и вертикальная фокусировка парой квадрупольных линз.

Фиг. 29.16. Маятник с осциллирую­щей осью имеет устойчивое положение с грузиком, находящимся наверху.

раскачиваться вверх и вниз. У такого маятника есть два поло­жения равновесия. Кроме нор­мального положения, когда маят­ник свешивается вниз, у него есть еще положение равновесия, когда он торчит кверху,— грузик при этом находится над точкой опоры (фиг. 29.16).

Простые рассуждения показывают, что вертикальное дви­жение стержня эквивалентно переменной фокусирующей силе. Когда стержень ускоряется вниз, грузик стремится двигаться по направлению к вертикали, как это показано на фиг. 29.17, а когда грузик ускоряется вверх,— все происходит в обратном порядке. Но несмотря на то, что сила все время изменяет свое направление, в среднем она действует к вертикали. Таким об­разом, маятник будет качаться туда и сюда около нейтрального положения, которое прямо противоположно нормальному.

Существует, конечно, более простой способ удержать маят­ник «вверх ногами» — например сбалансировать его на пальце. А вот попробуйте-ка так удержать два независимых маятника на одном пальце. Или даже один, но с закрытыми глазами. Балан­сирование означает внесение небольших поправок в то, что не­верно. А если одновременно неверны несколько параметров, то балансирование в большинстве случаев невозможно. Однако в синхротроне по орбите одновременно движутся миллиарды частиц, каждая из которых имеет свою собственную «ошибку», и тем не менее описанный нами способ фокусировки действует сразу на все эти частицы.