Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Фиг. 15.5. Интерференционный опыт с электронами.

Вместо силы речь теперь идет о том, каким образом взаимодействие меняет длину волны. Представление о силе становится уже второстепенным, если вообще о нем еще стоит говорить. Даже когда, к примеру, упоминают о ядерных силах, то на самом деле, как правило, работают все же с энер­гиями взаимодействия двух нуклонов, а не с силой их взаимо­действия. Никому не приходит в голову дифференцировать энергию, чтобы посмотреть, какова сила. В этом параграфе мы хотим рассказать, как возникают в квантовой механике век­торный и скалярный потенциалы. Оказывается, что именно из-за того, что в квантовой механике главную роль играют импульс и энергия, самый прямой путь введения в квантовое описание электромагнитных эффектов — сделать это с по­мощью А и j.

Надо сперва слегка напомнить, как действует квантовая механика. Мы снова вернемся к описанному в вып. 3, гл. 37, воображаемому опыту, в котором электроны испытывали дифрак­цию на двух щелях. На фиг. 15.5 показано то же устройство. Электроны (все они обладают примерно одинаковой энергией) покидают источник и движутся к стенке с двумя узкими щелями. За стенкой находится «защитный» вал — поглотитель с подвиж­ным детектором. Этот детектор предназначен для измерения частоты I, с которой электроны попадают в небольшой участок поглотителя на расстоянии х от оси симметрии. Частота эта пропорциональна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет этого участка «вала». Вероятность обладает распределением сложного вида (оно показано на рисунке), которое объясняется интерференцией двух амплитуд, по одной от каждой щели. Интерференция двух амплитуд зависит от их разности фаз. Иными словами, когда амплитуды равны С1еiф1и С2еiф2, разность фаз d=Ф1-Ф2 определяет интерференционную картину [см. вып. 3, гл. 29, уравнение (29.12)]. Если расстояние от щелей до экрана равно L, а разность длин путей электронов, проходящих через две щели, равна а (как показано на фигуре), то разность фаз двух волн дается отношением

(15.27)

Как обычно, мы полагаем l= l/2p, где l — длина волны, отвечающая пространственному изменению амплитуды вероят­ности. Для простоты рассмотрим лишь те значения х, кото­рые много меньше L; тогда можно будет принять

и

(15.28)

Когда х равно нулю, то и d равно нулю; волны находятся в фазе, а вероятность имеет максимум. Когда d равно п, волны оказываются в противофазе, интерферируя деструктивно, и вероятность достигает минимума. Так электронная интенсив­ность получает волнообразный вид.

Теперь мы хотим сформулировать тот закон, которым в кван­товой механике заменяется закон силы F=qvXВ. Этот закон будет определять собой поведение квантовомеханических ча­стиц в электромагнитном поле. Раз все происходящее опреде­ляется амплитудами, то закон должен будет объяснить, как сказывается на амплитудах влияние магнитного поля; с уско­рениями же частиц мы больше никакого дела иметь не будем. Закон этот состоит в следующем: фазу, с какой амплитуда до­стигает детектора, двигаясь по какой-то траектории, присут­ствие магнитного поля меняет на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории, умноженному на отношение заряда частицы к постоянной Планка. То есть

Если бы магнитного поля не было, то наблюдалась бы какая-то определенная фаза прибытия. Если же где-то появляется маг­нитное поле, то фаза прибытия возрастает на величину инте­грала в (15.29).

Хотя для наших теперешних рассуждений в этом нет необ­ходимости, заметим все же, что влияние электростатического поля тоже выражается в изменении фазы, равном интегралу по времени от скалярного потенциала j со знаком минус:

Эти два выражения справедливы лишь для статических полей, но, объединив их, мы получим правильный результат для любого, статического или динамического, электромаг­нитного поля. Именно этот закон и заменяет собой формулу F= q(E+vXВ). Мы сейчас, однако, будем говорить только о статическом магнитном поле.

Положим, что опыт с двумя щелями проводится в магнитном поле. Мы хотим узнать, с какой фазой достигают экрана две волны, пути которых пролегают через две разные щели. Их интерференция определяет то место, где окажется максимум вероятности. Фазу волны, бегущей по траектории (1), мы назо­вем Ф1; а через Ф1 (В = 0) обозначим фазу, когда магнитного поля нет. Тогда после включения поля фаза достигает величины

(15.30)

Аналогично, фаза для траектории (2) равна

(15.31)

Интерференция волн в детекторе зависит от разности фаз

Разность фаз в отсутствие поля мы обозначим d (В = 0); это та самая разность, которую мы подсчитали в уравнении (15.28). Кроме того, мы замечаем, что из двух интегралов можно сделать один, идущий вперед по пути (1), а назад — по пути (2); этот замкнутый путь будет обозначаться (1—2). Так что получается

(15.33)

Это уравнение сообщает нам, как под действием магнитного поля изменяется движение электрона; с его помощью мы мо­жем найти новые положения максимумов и минимумов интен­сивности.

Прежде чем сделать это, мы хотим, однако, поставить один интересный и важный вопрос. Вы помните, что в вектор-потен­циальной функции есть некоторый произвол. Две разные век­тор-потенциальные функции А и А', отличающиеся на гра­диент Сy некоторой скалярной функции, представляют одно и то же магнитное поле (потому что ротор градиента равен нулю). Они поэтому приводят к одной и той же классической силе qvXВ. Если в квантовой механике все эффекты зависят от векторного потенциала, то какая из многих возможных А-функций правильна?

Ответ состоит в том, что в квантовой механике продолжает существовать тот же произвол в А. Если в уравнении (15.33) мы заменим А на А' = А+Сy, то интеграл от А пре­вратится в

Интеграл от Сy вычисляется по замкнутому пути (1—2); но интеграл от касательной составляющей градиента по замкну­тому пути всегда равен нулю (по теореме Стокса). Поэтому как А, так и А' приводят к одним и тем же разностям фаз и к од­ним и тем же квантовомеханическим эффектам интерференции. И в классической, и в квантовой теории важен только ротор 4; любая функция А, у которой ротор такой, как надо, приводит к правильной теории.

Тот же вывод становится очевидным, если мы используем результаты, приведенные в гл. 14, § 1. Там мы показали, что контурный интеграл от А по замкнутому пути равен потоку В через контур, в данном случае потоку между путями (1) и (2). Уравнение (15.33) можно, если мы хотим, записать в виде

где под потоком В, как обычно, подразумевается поверхностный интеграл от нормальной составляющей В. Результат зависит только от В, т. е. только от ротора А.

Но раз результат можно выражать и через В и через А, то может создаться впечатление, что В удерживает свои позиции «реального» поля, а А все еще выглядит искусственным образо­ванием. Но определение «реального» поля, которое мы вначале предложили, основывалось на идее о том, что «реальное» поле не смогло бы действовать на частицу на расстоянии. Мы же беремся привести пример, в котором В равно нулю (или по крайней мере сколь угодно малому числу) в любом месте, где частицы могут оказаться, так что невозможно представить себе, что В непосредственно действует на них.

Вы помните, что если имеется длинный соленоид, по кото­рому течет электрический ток, то поле В существует внутри него, а снаружи поля нет, тогда как множество векторов А циркулирует снаружи соленоида (фиг. 15.6). Если мы создадим такие условия, что электроны будут проходить только вне соле­ноида (только там, где есть А), то, согласно уравнению (15.33),

соленоид будет все же влиять на их движение.

Фиг. 15.6. Магнитное поле и векторный потенциал длинного соленоида.

По классическим же воззрениям это невозможно. По классическим представлениям сила зависит только от В. Чтобы узнать, течет ли по соле­ноиду ток, частица должна пройти сквозь него. А квантовая механика утверждает, что наличие магнитного поля в соле­ноиде можно установить, просто обойдя его, даже не прибли­жаясь к нему вплотную!