Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

16. О великом скрипаче

В последнее время оживились споры: был ли Никколо Паганини действительно самым искусным скрипачом среди всех живущих и живших? Обсудим это и мы.

1. Да, был, это ж Паганини!

2. Определенно нет.

3. Возможно, но как это определить?

Для того чтобы выяснить, был ли Паганини самым лучшим скрипачом из всех живущих или когда-либо живших, нужно их просто взять и сравнить. И тут резонно задаться вопросом: как это сделать? Никаких записей Паганини по понятным причинам не оставил (его годы жизни – 1782–1840 гг., а фонограф был изобретен Томасом Эдисоном только в 1877-м). Все, что мы знаем о Паганини, оставлено нам в свидетельствах современников – что позволяет весьма ограниченно судить о способностях музыканта (буквально по анекдоту «Карузо, Карузо… Мне тут Рабинович напел!»). Так что одно мы можем утверждать определенно: Паганини, бесспорно, был великим музыкантом, но полагать, что он был самым лучшим скрипачом из всех, – для этого у нас нет и в принципе не может быть достаточных данных.

17. По какой полосе?

Вы приближаетесь к пункту взимания платы на платной автостраде. Пункт организован традиционно: по правой полосе могут двигаться любые машины – легковые, грузовики, автобусы, по всем прочим только легковые. В какой ряд следует встать?

1. В правый, поближе к дальнобойщикам!

2. Только не в правый! Держитесь левее!

3. Совершенно неважно – время ожидания в очереди в каждом ряду примерно одинаково.

Очереди в подобных местах имеют некоторую способность к саморегуляции – в том смысле, что каждый стремится встать в ряд наименьшей длины. В результате длины всех рядов и правда примерно одинаковы – но не время ожидания! Дело в том, что время ожидания определяется средним временем прохождения поста одной машиной (открыть окно, передать купюру, взять сдачу и чек, проехать), помноженным на число машин в очереди. Если длина очереди из легковых и грузовых машин одна и та же, то машин в «грузовой» очереди окажется в три-четыре раза меньше, чем в «легковой», – грузовики, особенно фуры, в несколько раз длиннее легковушек. Значит, эту очередь удастся преодолеть гораздо быстрее!

18. Спидометр-лгун

Многие автомобилисты в курсе, что спидометры в машинах дают неверные показания – они всегда завышают показатели скорости (показывают бóльшую, чем в действительности), опытные водители даже знают, на сколько – «на 10 км/ч», говорят они с большой убежденностью. Неужели в XXI веке так и не смогли настроить точно такой простой прибор, как спидометр?

1. Смогли. Прокатитесь с превышением мимо любого поста ГАИ и обсудите с инспектором эти 10 км/ч.

2. Особенности измерения не позволяют мерить скорость точно.

3. Это намеренная ошибка – госорганы обязывают производителей делать такие спидометры, чтобы реальная скорость была меньше и, значит, езда – безопаснее.

Во-первых, спидометры и правда «завышают». И чтобы в этом убедиться, включите во время движения на смартфоне, например, «Яндекс. Карты» (определяют скорость по GPS) и сравните данные с показаниями спидометра. Во-вторых, задача решается элементарно, если ответить: а как вообще спидометры замеряют скорость? Очевидно, меряется угловая скорость вращения колес (ν, число оборотов колеса в единицу времени), а из нее вычисляется линейная (v) – они связаны простым соотношением v = 2πνR, где R – радиус колеса. Все хорошо, если мы точно знаем этот радиус, – но это не так, можно надеть низко– или высокопрофильную резину, можно с резиной поменять и диски. В конце концов, он зависит даже от давления в шинах! Так что ошибка в измерении скорости таким методом неустранима. А почему именно завышают (могли бы ведь и занижать)? Видимо, так производители страхуются от претензий водителей: если на спидометре 100 км/ч, а на радаре гаишника 95 км/ч, то это ваша проблема; если же на радаре 105 км/ч, то это проблема автозавода – вы сможете предъявить ему претензии на некорректную работу прибора. Что еще важно отметить: почему эта задача вошла в «Озадачник. Логику», а не в «Физику»? Просто все эти умозаключения автор сделал, не прибегая вообще ни к каким источникам, – так что это чисто логическое решение, вследствие чего, возможно, неправильное.

19. Удачная отговорка

– Что-то редко ты стал у меня бывать, Павлик, – сказала Алевтина Сергеевна сыну, навестившему ее впервые за две недели. – Почему так?

– Мама, ну что ты! У меня есть только ты и Даша, каждый день после работы я спускаюсь на платформу и сажусь в тот поезд, который раньше подойдет – в твою или ее сторону. По идее, я должен бывать у вас поровну, сам не понимаю, почему поезд к ней попадается чаще…

А серьезно, почему?

1. Поезда в направлении к Даше идут чаще, чем к Алевтине Сергеевне.

2. Возможно, это как-то связано с расписанием поездов.

3. Павел просто не хочет признаться маме, что у Даши бывать ему нравится больше.

Первый вариант ответа (про то, что к Даше идет больше поездов, чем к маме Павла) стоит отмести хотя бы потому, что он противоречит закону сохранения поездов: судите сами, рано или поздно все поезда скопятся в депо на конечной по Дашиному направлению, и, чтобы эта версия работала в течение продолжительного времени, где-то в стороне Алевтины Сергеевны новые поезда должны рождаться, а в Дашиной «лишние» поезда – исчезать. (Справедливости ради – противоречие снимается, если предположить, что линия метро – кольцевая, но мы этот исключительный случай не рассматриваем.) Проще предположить, что при одном и том же среднем интервале (скажем, 10 минут) поезда в Дашином направлении приходят, для примера, в 17:00, 17:10, 17:20…, а в мамином – в 17:02, 17:12, 17:22. Тогда вероятность попасть к маме у Павла – только 20 % (нужно прийти на платформу в двухминутный интервал с 17:00 до 17:02 и т. п.), а к Даше – 80 % (отрезок от 17:02 до 17:10). Выходит, ничего удивительного, что у Даши Павел гостит чаще.

20. Парадокс Протагора

Протагор был уважаемым юристом в Древней Греции, и как-то он взял в ученики способного, но небогатого юношу, которого он обучал «в кредит»: они условились, что как только ученик выиграет свой первый судебный процесс, то часть гонорара отдаст учителю. Однако юноша решил бросить занятия. Тогда сам Протагор подал иск против ученика, потребовав уплаты обещанной суммы. Удалось ли ему взыскать плату за обучение?

1. Нет, ведь у ответчика железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению я не должен платить; если же проиграю, то тоже не должен платить, так как условием оплаты за обучение является выигранный мной процесс».

2. Да, ведь у истца железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению ученик должен будет заплатить; если же я проиграю, значит, он выиграет – и должен будет заплатить мне по нашему договору».

3. Спор неразрешим в рамках данного судебного процесса.

Замечательным свойством парадокса Протагора оказывается то, что он и правда неразрешим. Вот уж парадокс так парадокс! Действительно, непогрешимыми оказываются как логика Протагора, так и логика его ученика, при этом их рассуждения приводят к выводам совершенно противоположным. Один из способов разрешения противоречия заключается в рассмотрении не одного, а двух судебных процессов. Положим, в первом Протагор проиграл: суд посчитал, что ученик еще не выиграл ни одного процесса, значит, условие уплаты денег за обучение не возникло. Но после вынесения судебного решения оно уже как раз возникло, и Протагор может спокойно подать второй иск, который он гарантированно выиграет, там уже никаких парадоксов. Для равновесия автор предлагает еще один способ, благодаря которому в выигрыше всегда будет ученик: ему просто следует не самому защищать себя, а нанять адвоката, тогда Протагору никогда никаких денег с него не стребовать.

21. Где доллар?

Трое друзей селятся в гостиницу, номер стоит $27, они скидываются по $9, расплачиваются и идут заселяться. Портье проверяет компьютер и выясняет, что гости бронировали номер через booking.com, а значит, им полагается скидка в $5. Он спешит к ним – вернуть лишнее, по дороге соображает, что $5 на троих не делится, и решает дать каждому по доллару, а $2 оставить себе. Таким образом каждый турист получает обратно по доллару, и номер им в итоге обходится в $8 × 3 = $24, еще $2 забрал портье, в сумме это дает $26, а было же $27! Как это следует понимать?!