Альберт Эйнштейн - Эволюция физики
Рассмотрим случай двух систем, отправляющихся из некоторого пункта и движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга с известной скоростью. Тот, кто предпочитает конкретные представления, может думать о корабле или поезде, движущемся относительно Земли. Законы механики могут быть подтверждены экспериментально с одинаковой степенью точности как на Земле, так и на поезде или корабле, движущемся прямолинейно и равномерно. Некоторое затруднение возникает лишь тогда, когда наблюдатели в обеих системах начинают обсуждать результаты наблюдения одного и того же события с точки зрения своей собственной системы координат. Каждому хочется перевести наблюдения другого на свой собственный язык. Опять простой пример: одно и то же движение частицы наблюдается из двух систем координат — с Земли и из поезда, движущегося прямолинейно и равномерно. Обе системы инерциальны. Достаточно ли знать, чтоґ наблюдается в одной системе, для того чтобы найти, чтоґ наблюдается в другой, если известны относительные скорости и положения обеих систем в некоторый момент времени? Как перейти от одной системы координат к другой? Это весьма существенно знать, так как обе системы эквивалентны и обе одинаково пригодны для описания событий в природе. В действительности совершенно достаточно знать результаты, полученные наблюдателем в одной системе, чтобы предсказать, какие результаты получит наблюдатель в другой.
Рассмотрим проблему более абстрактно, без парохода или поезда. Ради простоты будем исследовать только движение по прямым линиям. У нас имеются твердый стержень со шкалой и хорошие часы. Твердый стержень для простого случая прямолинейного движения представляет собой систему координат, совершенно так же как ее представлял масштаб у башни в опыте Галилея. Всегда проще и лучше не обращать внимания на башни, стены, улицы и т. п., а мыслить систему координат в виде твердого стержня в случае прямолинейного движения или жесткой конструкции из трех взаимно перпендикулярных стержней — в случае произвольного движения в пространстве. Допустим, что мы имеем в простейшем случае две системы координат, т. е. два твердых стержня; положим один стержень на другой и назовем их соответственно «верхней» и «нижней» системой координат. Предположим, что обе системы координат движутся с определенной скоростью друг относительно друга, так что один стержень скользит вдоль другого. При этом лучше предположить, что оба стержня бесконечны по длине и имеют начальные точки, но не имеют конечных. Для обеих систем достаточно иметь одни часы, так как течение времени в них одинаково. В начальный момент наблюдения начальные точки обоих стержней совпадают. Положение материальной точки в этот момент характеризуется в обеих системах одним и тем же числом. Положение материальной точки совпадает с некоторой точкой на шкале стержня; таким образом, мы получаем число, определяющее положение этой материальной точки. Но если стержни движутся равномерно относительно друг друга, то числа, определяющие положение точки на обоих стержнях, будут через некоторое время, скажем через секунду, различны. Рассмотрим материальную точку, покоящуюся на верхнем стержне (рис. 60). Число, определяющее ее положение в верхней системе координат, не изменяется со временем. Но соответствующее число на нижнем стержне будет изменяться. Вместо слов «число, определяющее положение точки» мы будем кратко говорить координата точки. Хотя следующее предложение звучит запутанно, тем не менее из рисунка мы видим, что оно правильно и выражает нечто очень простое. Координата точки в нижней системе координат равна ее координате в верхней системе плюс координата начала верхней системы относительно нижней. Весьма важно, что мы всегда можем подсчитать положение частицы в одной системе координат, если знаем ее положение в другой системе. Для этого мы должны знать относительное положение рассматриваемых координатных систем в любой момент времени. Хотя все это звучит по-ученому, на самом деле все это очень просто и едва ли заслуживает такого детального обсуждения, но это нам будет полезно впоследствии.
Необходимо отметить различие между определением положения точки и определением времени события. Каждый наблюдатель имеет свой стержень, который определяет его координатную систему, но часы у всех одни и те же. Время есть нечто «абсолютное» и течет одинаково для всех наблюдателей во всех системах.
Теперь другой пример. Человек прогуливается по палубе большого корабля со скоростью 3 км/ч. Это его скорость относительно корабля или, другими словами, скорость относительно системы координат, жестко связанной с кораблем. Если скорость корабля относительно берега 30 км/ч и если прямолинейные и равномерные движения корабля и человека имеют одно и то же направление, то скорость прогуливающегося человека по отношению к наблюдателю на берегу будет равна 33 км/ч, а по отношению к кораблю — 3 км/ч. Мы можем формулировать этот факт в более общем виде: скорость движущейся материальной точки относительно нижней системы координат равна скорости относительно верхней системы плюс или минус скорость верхней системы относительно нижней в зависимости от того, имеют ли скорости одинаковые направления или противоположные (рис. 61). Мы всегда, следовательно, можем перевести от одной системы координат к другой не только координаты, но и скорости, если нам известны относительные скорости обеих систем. Положения, или координаты, и скорости являются примерами величин, которые различаются в различных системах координат и которые связаны друг с другом определенными, в данном случае простыми, законами преобразования.
Но существуют величины, которые одинаковы в обеих системах и которые не нуждаются ни в каких законах преобразований. Возьмем не одну, а две определенные точки на верхнем стержне и рассмотрим расстояние между ними. Это расстояние является разностью координат обеих точек. Чтобы найти положения двух точек относительно различных систем координат, мы должны использовать законы преобразований. Но при образовании разности двух координат вклады, связанные с переходом в новую систему, компенсируются, как это ясно из рис. 62. Мы должны прибавить, а затем вычесть расстояние между началами обеих систем. Поэтому расстояние между двумя точками инвариантно, т. е. не зависит от выбора систем координат.
Следующим примером величины, не зависящей от системы координат, является изменение скорости — понятие, хорошо известное нам из механики. Пусть опять материальная точка, движущаяся вдоль прямой, наблюдается в двух системах координат. Изменение ее скорости для наблюдателя в каждой системе представляет собой разность между двумя скоростями, и вклад, связанный с равномерным относительным движением обеих систем координат, уничтожается, когда подсчитывается разность. Следовательно, изменение скорости инвариантно, хотя, разумеется, лишь при условии, что относительное движение обеих систем координат равномерно. В противном случае изменение скорости было бы различно для каждой из обеих систем координат; это различие обусловливается изменением скорости относительного движения обоих стержней, представляющих наши координатные системы.
Наконец, последний пример! Пусть мы имеем две материальные точки, между которыми действует сила, зависящая только от расстояния. В случае прямолинейного движения расстояние, а следовательно, также и сила инвариантны. Поэтому закон Ньютона, связывающий силу с изменением скорости, будет справедлив в обеих системах координат. Еще раз мы получаем вывод, который подтверждается повседневным опытом: если законы механики справедливы в одной системе координат, то они справедливы и во всех системах, движущихся равномерно и прямолинейно относительно первой. Конечно, наш пример был очень простым, рассматривалось прямолинейное движение, для которого система координат могла быть представлена твердым стержнем. Но наши выводы справедливы вообще, и они могут быть подытожены следующим образом.
1. Мы не знаем никакого правила для отыскания инерциальной системы. Однако если задана одна инерциальная система, то мы можем найти бесконечное число их, так как все системы координат, движущиеся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, являются инерциальными, если инерциальна одна из них.
2. Время, соответствующее событию, одинаково во всех системах координат. Но координаты и скорости различны и изменяются согласно закону преобразования.
3. Хотя координаты и скорости изменяются при переходе от одной системы координат к другой, сила и изменение скорости, а стало быть, и законы механики инвариантны относительно законов преобразования.
Законы преобразования, сформулированные нами выше для координат и скоростей, мы будем называть законами преобразования классической механики, или, короче, классическими преобразованиями.
