Майкл Файер - Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир
Для любой частицы, и в частности для электрона, p=m∙V, где m — масса, а V — его скорость. Масса электрона чётко определена. Неопределённость p возникает из-за неопределённости скорости, то есть смысл ∆p состоит в том, что скорость не является чётко определённой. Измерения скорости идентично подготовленных электронных волновых пакетов не будут раз от раза давать одинаковые результаты. Неопределённость скорости приводит к неопределённости импульса (∆p), что, согласно принципу неопределённости (∆x∙∆p≥h/4π), приводит к неопределённости x (∆x). Важный момент заключается в том, что величина ∆x может быть значительной в масштабах атомов и молекул, но очень мала по сравнению с масштабами длины макроскопических цветных пикселов на ЭЛТ-экране. В таких ситуациях волновая природа волновых пакетов не проявляется и они ведут себя, как классические частицы.
При дифракции электроны ведут себя как волны
Как показано на рис. 7.4, электронные волновые пакеты тоже демонстрируют волновые свойства. В изображённом эксперименте пучок электронов, сгенерированный электронной пушкой, подобной описанной выше, направляется не на телевизионный экран, а на поверхность кристалла. Электроны недостаточно энергичны, чтобы проникнуть в кристалл. На поверхности кристалла атомы выстроены в ряды, называемые кристаллической решёткой. Эти ряды атомов разделены интервалами в несколько ангстремов. (Один ангстрем — это единица длины, равная 10−10 м, или одной десятимиллиардной метра. Ангстремы часто используются в атомных масштабах, для их обозначения служит символ Å.) Указанный интервал определяется размерами атомов. Ряды атомов работают как штрихи дифракционной решётки, но они расположены гораздо плотнее. Длина волны электронов относится к тому же масштабу расстояний, что и шаг решётки (интервал между рядами). Длина волны определяется формулой де Бройля: λ=h/p, где p=m∙V. Масса электрона составляет 9,1∙10−31 кг. При скорости 7,3∙105 м/сек (730 км/сек) длина волны составит: λ=10 Å. Такая скорость легко достигается в простейшей электронной пушке.
Электронные волны амплитуды вероятности испытывают дифракцию на поверхности кристалла подобно фотонам на обсуждавшейся выше дифракционной решётке. Однако дифракционная решётка обладает единственным шагом d, поскольку все канавки идут параллельно друг другу в одном направлении. Решётка же на поверхности кристалла двумерная. Как видно на рис. 7.5, у неё имеется много направлений, вдоль которых располагаются параллельные ряды атомов. В качестве примеров на рисунке сплошными линиями обозначены некоторые ряды атомов, идущие в разных направлениях. Штриховыми линиями, параллельными сплошным, показано, что для каждого из таких направлений существует параллельный ряд атомов. Ряды атомов, идущие в разных направлениях, разделены разными расстояниями (интервалами между дифракционными канавками). Различие этих интервалов наглядно показано на рис. 7.5: обратите внимание на расстояния между парами параллельных сплошной и штриховой линий. Каждая пара разделена своим расстоянием, соответствующим интервалу между канавками.
Рис. 7.4. Схема дифракции низкоэнергетических электронов на поверхности кристалла. Входящий пучок электронов низкой энергии не проникает в кристалл, отражаясь от поверхности. Ряды атомов действуют подобно канавкам дифракционной решётки на рис. 7.1. Они вызывают дифракцию приходящих электронных волн
Рис. 7.5. Решётка с рис. 7.4, на которой показаны примеры рядов атомов, идущих в различных направлениях. Для каждой прямой, проходящей через центры атомов, образующих ряд, можно провести другие параллельные ей прямые, которые также проходят через центры атомов. Интервалы между этими параллельными рядами различаются. Каждый набор рядов вызывает дифракцию в своём направлении
Поскольку существует множество межатомных интервалов для «канавок», идущих в разных направлениях, электронные волны будут испытывать дифракцию по многим различным направлениям. На рис. 7.6 приведён пример дифракции низкоэнергетических электронов на поверхности кристалла. Чёрный круг в центре — это кусок металла, называемый поглотителем пучка. Его поддерживает другая металлическая деталь, которая на изображении выглядит как тёмная вертикальная полоска под ним. Поглотитель не позволяет части электронного пучка, которая отразилась от кристалла, попасть в детектор. Яркие и тусклые белые пятна порождаются испытавшими дифракцию электронами, которые попали в детектор. По положению пятен можно определить расположение атомов и интервалы между ними. Анализ дифракции электронов на кристаллах — это важный метод научного исследования их поверхности. Рисунок электронной дифракции убедительно демонстрирует, что электроны, как и фотоны, ведут себя подобно волнам.
Рис. 7.6. Экспериментальные данные, демонстрирующие дифракцию электронов на поверхности кристалла. Светлые пятна соответствуют различным направлениям, в которых распространяются испытавшие дифракцию электроны. Этих пятен много, поскольку дифракция происходит на многих различных параллельных рядах атомов (см. рис. 7.5)
Электроны и фотоны — это частицы и волны, а бейсбольные мячи — это лишь частицы
Электроны в ЭЛТ ведут себя как частицы, подобно фотонам в фотоэлектрическом эффекте. Низкоэнергетические электроны ведут себя как волны при дифракции на поверхности кристалла, что аналогично поведению фотонов, когда они испытывают дифракцию на дифракционной решётке. На самом деле фотоны, электроны и все остальные частицы являются волновыми пакетами, которые в большей или меньшей степени локализованы. Волновые пакеты могут демонстрировать свои волновые или корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств.
Если фотоны и электроны могут демонстрировать как волновые, так и корпускулярные свойства, то почему такого не бывает с бейсбольными мячами? Чтобы понять, почему мячи ведут себя как частицы с позиций классической механики, необходимо рассмотреть, как соотносятся размеры частиц и длины связанных с ними волн.
Рассмотрим для начала электрон в атоме водорода. Мы будем обсуждать квантовое описание атома водорода и других атомов в главах 10 и 11, а сейчас используем лишь простые количественные оценки волновых параметров атома водорода. Согласно формуле де Бройля, длина волны определяется формулой λ=h/p. Импульс равен p=m∙V, то есть произведению массы и скорости. Масса электрона составляет me=9,1∙10−31 кг, а характерная скорость электрона в атоме — V=5,0∙106 м/сек. Тогда длина волны де Бройля составляет
λ=h/p = (6,6∙10−34 Дж∙сек)/[(9,1∙10−31 кг)∙(5,0∙106 м/сек)] = 1,5∙10−10 м = 1,5 Å.
Заметим, что значение 1,5 Å примерно соответствует размеру атома. Таким образом, длина волны электрона в атоме и размеры атома примерно одинаковы. Волновые свойства электронов становятся очень важны, когда электроны оказываются в очень маленьких системах, таких как атомы.
А что можно сказать о бейсбольном мяче? По правилам Главной лиги бейсбола мяч должен весить от 142 до 149 г. Примем его массу равной 145 г = 0,145 кг. При очень сильной подаче развивается скорость 145 км/ч = 40 м/сек. Импульс быстрого мяча составляет p= 0,145 кг ∙ 40 м/сек = 5,8 кг∙м/сек. Таким образом, длина волны де Бройля для такого мяча будет равна
λ=h/p = (6,6∙10−34 Дж∙сек)/[(0,145 кг)∙(40 м/сек)] = 1,1∙10−34 м = 1,1∙10−24 Å.
