Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты
Отметим еще одно важное применение дифракции. Возьмем дифракционную решетку и спроектируем ее изображение на экран. Для монохроматического света в определенных местах экрана возникнут максимумы — основные и более высоких порядков. По расположению максимумов и длине волны можно найти расстояние между линиями решетки. А по отношению интенсивностей различных максимумов можно найти форму штрихов решетки и различить пиловидную, прямолинейную и разные другие формы, даже не глядя на решетку. Этот принцип служит для определения положения атомов в кристалле. Единственная сложность состоит в том, что кристалл трехмерен; он представляет собой периодическую трехмерную решетку, составленную из атомов. Мы не можем использовать здесь видимый свет, потому что длина волны источника должна быть меньше расстояния между атомами, иначе никакого эффекта не будет; следовательно, нужно взять излучение с очень малыми длинами волн, т. е. рентгеновские лучи. Итак, освещая кристалл рентгеновскими лучами и найдя интенсивности максимумов разного порядка, можно определить расположение атомов в кристалле, даже не имея возможности увидеть все это собственными глазами! Именно таким путем было найдено расположение атомов в разных веществах. В гл. 1 мы привели несколько схем, показывающих размещение атомов в кристалле соли и ряде других веществ. Мы еще вернемся к этому вопросу в дальнейшем и обсудим его подробно, а пока не будем заниматься этой интереснейшей проблемой.
§ 6. Дифракция на непрозрачном экране
Рассмотрим сейчас весьма интересное явление. Пусть имеется непрозрачный лист с отверстиями, и по одну сторону от него расположен источник света. Нас интересует, какое изображение возникнет на экране по другую сторону листа. Каждый скажет, что свет пройдет через отверстия и создаст на экране какое-то изображение. Оказывается, что это изображение можно получить с хорошей степенью точности, если предположить, что источники света равномерно распределены по ширине отверстий, а фазы источников точно такие, как если бы непрозрачного листа вовсе не было. Источников в отверстиях на самом деле, конечно, нет; во всяком случае, это как раз то место, где их наверняка не может быть. Тем не менее правильная дифракционная картина получается, если считать, что источники расположены именно в отверстиях; факт довольно странный. Позже мы объясним, почему такое предположение правильно, а пока примем его на веру.
В теории дифракции есть один род дифракционных явлений, который стоит кратко обсудить. Речь идет о дифракции на непрозрачных экранах. Обычно в элементарных курсах о них говорят гораздо позже, так как для их объяснения нужно использовать довольно сложные формулы суммирования малых векторов. В остальном эти явления не отличаются от уже рассмотренных нами. Все интерференционные явления по существу одинаковы; в них не входят сколько-нибудь сложные понятия, только условия возникновения могут быть более сложными, и тогда векторы поля труднее складывать, вот и все.
Предположим, что свет приходит из бесконечности, попадает на предмет и отбрасывает от него тень. На фиг. 30.7 изображен экран, на который свет отбрасывает тень от предмета АВ, причем источник света удален на расстояние, много большее длины волны. Казалось бы, вне тени интенсивность света максимальна, а внутри должна быть полная темнота. На самом же деле, если откладывать интенсивность как функцию расстояния до края тени, интенсивность будет сначала расти, а затем начнет спадать, колеблясь самым прихотливым образом вблизи края тени (фиг. 30.8). Посмотрим, отчего это происходит. Для объяснения воспользуемся недоказанной нами теоремой, что вместо истинной картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта.
Фиг. 30.7. Далекий источник отбрасывает тень от непрозрачного предмета на экран.
Представим себе эти эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антенн и найдем интенсивность в некоторой точке Р. Это очень похоже на то, чем мы занимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не на бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерферирующих лучей на конечном расстоянии, а не на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антенны. Сначала возьмем антенну в точке D,прямо напротив Р.Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту h, лучу потребуется больше времени, чтобы попасть в точку Р(амплитуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница эта очень мала, поскольку расстояние все равно велико, и гораздо менее важна, чем изменение фазы излучения). Далее, разность EP-DP равна h2/2s, т. е. разность фаз пропорциональна квадрату удаления от точки D, тогда как раньше у нас s было бесконечно и разность фаз была линейно связана с /г. Когда фазы зависят от h линейно, каждый вектор повернут относительно предыдущего на постоянный угол. Теперь же мы должны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы при условии, что образуемый ими угол с осью абсцисс растет с увеличением длины кривой не линейным, а квадратичным образом. Явный вид кривой находится с помощью довольно сложных математических методов, но мы всегда можем построить эту кривую, просто откладывая векторы под требуемым углом. В конечном счете мы получаем замечательную кривую (называемую спиралью Корню), изображенную на фиг. 30.8. Как ею пользоваться? Р. Пусть требуется определить интенсивность, скажем, в точке
Сложим волны с разными фазами от точки D вверх до бесконечности и вниз от D до точки Вр. Таким образом, нужно отложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с точки Вр на фиг. 30.8.
Фиг. 30.9, Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический край menu находится в точке х0.
Весь вклад от области над Вр дается спиральной кривой. Если бы суммирование заканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от Вр до этой точки; в нашем случае суммирование ведется до бесконечности, так что искомая амплитуда есть вектор Врx. Точка на кривой, соответствующая точке Вр на предмете, зависит от положения точки Р, потому что точка D кривой (точка перегиба) всегда относится к выбранной точке Р. Следовательно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор ВрҐ имеет многочисленные максимумы и минимумы (фиг. 30.9).
Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от Р, то нам понадобится только верхний конец спиральной кривой. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет не D, a BQ, и, следовательно, книзу от Р интенсивность должна непрерывно падать при удалении Q в область тени.
Есть одна величина, которую можно легко вычислить сразу и таким образом убедиться, что мы здесь что-то понимаем,— это интенсивность в точке, лежащей прямо против края. Эта интенсивность равна 1/4 от интенсивности падающего света. Причина: для точки, лежащей против края предмета (когда Вр совпадает с D на фиг. 30.8), получается половина кривой в отличие от целой кривой, которая была бы получена, если бы точки лежали достаточно далеко в освещенной области. Если точка R расположена достаточно высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна половине этого вектора; следовательно, отношение интенсивностей получается равным 1/4.
В этой главе мы вычисляли интенсивность в разных направлениях при различном расположении источников. В заключение выведем формулу, которая нам понадобится в следующей главе, посвященной показателю преломления. До сих пор мы обходились только относительными интенсивностями, а на этот раз мы получим формулу для полной величины поля при условиях, о которых будет рассказано ниже.
§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости
Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцилляторы, причем все они колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно большом расстоянии от плоскости? (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью XY и нас интересует поле в точке Р, лежащей на оси z, достаточно далеко от плоскости (фиг. 30.10). Предположим, что число зарядов на единичной площадке равно n, а величина каждого заряда д. Все заряды совершают одинаковые гармонические колебания в одном и том же направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего положения описывается функцией x0coswt. Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебание заряда функцией x0eiwt.
