Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм

Заметьте, что свойства этих ядер ничего не говорят нам о нейтрон-протонных силах; число нейтрон-протонных комбина­ций в обоих ядрах одинаково. Но если мы сравним два других ядра, таких, как С14 с его шестью протонами и восемью нейтро­нами и N14, в котором и тех, и других по семи штук, то выявим в энергетических уровнях такое же соответствие. Можно выве­сти заключение, что р—р-, n—n- и р—n-силы совпадают между собой во всех деталях. В законах ядерных сил возник неожидан­ный принцип. Хотя силы, действующие между каждой парой ядерных частиц, очень запутаны, но силы взаимодействия для любой из трех мыслимых пар одни и те же.

Однако есть и какие-то слабые отличия. Точного соответствия уровней нет; кроме того, основное состояние С11 обладает абсо­лютной энергией (массой), которая на 1,982 Мэв выше основного состояния В11. Все прочие уровни тоже по абсолютной величине энергии выше на такое же число. Так что силы не совсем точно равны. Но мы и так хорошо знаем, что полная, величина сил не совсем одинакова; между двумя протонами действуют электриче­ские силы, ведь каждый из них заряжен положительно, а между нейтронами таких сил нет. Может быть, различие между В11 и С11 объясняется тем фактом, что в этих двух случаях различны электрические взаимодействия протонов? А может, и остающаяся ми­нимальная разница в уровнях вызывается электрическими эф­фектами? Раз уж ядерные силы так сильны по сравнению с электрическими, то электрические эффекты могли бы только слегка возмутить энергии уровней.

Чтобы проверить это представление или, лучше сказать, чтобы выяснить, к каким следствиям оно приведет, мы сперва рассмотрим разницу в энергиях основных состояний обоих ядер. Чтобы модель была совсем простой, положим, что ядра — это шары радиуса r (который нужно определить), содержащие Z протонов. Если считать ядро шаром с равномерно распреде­ленным зарядом, то можно ожидать, что электростатическая энергия [из уравнения (8.7)] окажется равной

(8.22)

где qe — элементарный заряд протона. Из-за того, что Z равно для В11 пяти, а для С11 шести, электростатические энергии бу­дут различаться.

Но при таком малом количестве протонов уравнение (8.22) не совсем правильно. Если мы подсчитаем электрическую энер­гию взаимодействия всех пар протонов, рассматриваемых как точки, примерно однородно распределенные по шару, то увидим, что величину Z2 в (8.22) придется заменить на Z(Z-1), так что энергия будет равна

(8.23)

Если известен радиус ядра r, мы можем воспользоваться выра­жением (8.23), чтобы определить разницу электростатических энергий ядер В11 и С11. Но проделаем обратное: из наблюдаемой разницы в энергиях вычислим радиус, считая, что вся суще­ствующая разница по происхождению — электростатическая. В общем, это не совсем верно. Разность энергий 1,982 Мэв двух основных состояний В11 и С11 включает энергии покоя, т. е. энергии тc2всех частиц. Переходя от В11 к С11, мы замещаем нейтрон протоном, масса которого чуть поменьше. Так что часть разности энергий — это разница в массах покоя нейтрона и протона, составляющая 0,784 Мэв. Та разность, которую надо сравнивать с электростатической энергией, тем самым больше 1,982 Мэв; она равна

Подставив эту энергию в (8.23), для радиуса В11 или С11 по­лучим

(8.24)

Имеет ли это число какой-нибудь смысл? Чтобы это прове­рить, сравним его с другими определениями радиусов этих ядер.

Например, можно определить радиус ядра иначе, наблюдая, как рассеивает оно быстрые частицы. В ходе этих измерений выяс­нилось, что плотность вещества во всех ядрах примерно оди­накова, т. е. их объемы пропорциональны числу содержащихся в них частиц. Если через А обозначить число протонов и нейтро­нов в ядре (число, очень близко пропорциональное его массе), то оказывается, что радиус ядра дается выражением

(8.25)

где

(8.26)

Из этих измерений мы получим, что радиус ядра В11 (или С11)должен быть примерно равен

Сравнив это с выражением (8.24), мы увидим, что наши пред­положения об электростатическом происхождении разницы в энергиях В11 и С11 не столь неверны; расхождение едва ли до­стигает 15% (а это не так уж скверно для первого расчета по теории ядра!).

Причина расхождения, по всей вероятности, состоит в сле­дующем. Согласно нашему нынешнему пониманию ядер, четное количество ядерных частиц (в случае В11 пять нейтронов с пятью протонами) образует своего рода оболочку; когда к этой оболочке добавляется еще одна частица, то вместо того, чтобы поглотиться, она начинает обращаться вокруг оболочки. Если это так, то для добавочного протона нужно взять другое значение электростатической энергии. Нужно считать, что избыток энер­гии С11 над В11 как раз равен

т. е. равен энергии, необходимой для того, чтобы снаружи обо­лочки появился еще один протон. Это число составляет 5/6 ве­личины, предсказываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно 5/6 от (8.24). Оно намного лучше согласуется с прямыми измерениями.

Согласие в цифрах приводит к двум выводам. Первый: зако­ны электричества, видимо, действуют и на столь малых расстоя­ниях, как 10-13 см. Второй: мы убедились в замечательном сов­падении — неэлектрическая часть сил взаимодействия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова.

§ 5. Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатичес­кой энергии. Все они могут быть получены из основного соот­ношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выраже­ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

(8.27)

Обратите внимание на появление множителя 1/2. Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV1и по dV2каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV2 в (8.27) — это просто потенциал в точке (1), т. е.

так что (8.27) можно записать в виде

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

(8.28)

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энер­гия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель 1/2. Он все еще необходим, по­тому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

или

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

(8.29)

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель 1/2.

Интересен и такой вопрос: где размещается электростатичес­кая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?

Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодей­ствующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энер­гией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия со­средоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммар­ная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.

Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда со­средоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме­нение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утвержде­ние о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно вы­полняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего — это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назо­вем это расширение принципом локального (местного) сохране­ния энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действи­тельно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.