Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

158

Пытливый читатель может самостоятельно проверить геометрию, приведенную в тексте. Проще всего, если мы сориентируем сферу Римана так, чтобы α-направление было направлением «вверх», а β-направление лежало в плоскости, натянутой на направления «вверх» и «вправо», т. е. задаваемой параметром q =tg(v/2) на сфере Римана, а затем воспользуемся формулой

для вероятности перехода скачком из |ψ) в (X|. (См. прим. 151.)

159

Эта объективность является характерной особенностью нашего подхода, если мы всерьез принимаем стандартный квантовомеханический формализм. При нестандартном подходе система могла бы в действительности заранее «знать» результат, выдаваемый в ответ на любое измерение. Это привело бы нас к другой и, очевидно, объективной картине физической реальности.

160

Комплексное число — р подходит так же хорошо, как и р, в качестве квадратного корня из q, и дает тот же самый эллипс поляризации. Квадратный корень обусловлен тем, что фотон — безмассовая частица со спином, равным единице, т. е. вдвое бо́льшим фундаментальной единицы ħ/2. Для гравитона (еще не открытого кванта гравитации) спин равен двум, т. е. вчетверо бо́льше фундаментальной единицы, поэтому нам в приведенном выше описании понадобился бы корень четвертой степени из q.

161

Точнее, угловой момент описывается комплексными линейными комбинациями таких наборов из различного числа точек, так как суперпозиции могут включать несколько различных значений полного спинов — в случае какой-нибудь сложной системы. Все это приводит к картине, еще менее похожей на картину классического углового момента!

162

Математически можно сказать, что пространство двухчастичных состояний есть тензорное произведение пространства состояний первой частицы и пространства состояний второй частицы. Таким образом |X)|ψ), есть тензорное произведение состояний |X) и |ψ)

163

Блестящий австрийский физик Вольфганг Паули, сыгравший выдающуюся роль в развитии квантовой механики, выдвинул свой принцип запрета в 1925 году в качестве гипотезы. Полная квантовомеханическая теория того, что мы ныне называем «фермионами», была разработана в 1926 году выдающимся физиком Энрико Ферми и великим Полем Дираком, с которым мы уже несколько раз встречались по ходу изложения. Статистическое поведение фермионов соответствует «статистике Ферми — Дирака» (отличной от «статистики Больцмана» — классической статистики различимых частиц). «Статистика Бозе — Эйнштейна» бозонов была разработана для рассмотрения фотонов замечательным индийским физиком Шатьендранатом Бозе и Альбертом Эйнштейном в 1924 году.

164

Это настолько замечательный и важный результат, что стоит изложить еще один его вариант. Предположим, что существуют всего лишь две настройки для E-измерителя: вверх [↑] и вправо [→], и две настройки для Р-измерителя — под углом 45° к направлению вправо вверх

и под углом 45° к направлению вправо вниз.

Предположим, что реальные настройки для Е- и Р-измерителей — соответственно [→] и

Тогда вероятность того, что Е- и Р-измерения дадут согласующиеся результаты, равна (1/2)(1+cos135°) = 0,146…, что чуть меньше 15%. Длинная последовательность экспериментов при таких настройках, например,

Е: ДННДНДДДНДДННДННННДДН…

Р: НДДНННДНДННДДНДДНДННД…

даст нам согласие лишь немного меньше 15%. Предположим теперь, что на Р-измерения никак не влияет E-настройка — т. е. что если E-настройка была бы [↑], а не [→], то исходы Р-измерений были бы такими же, а так как угол между [↑] и

такой же, как между [→] и

,

то вероятность согласия между исходами P-измерений и новых Е-измерений (обозначим их, например, E'-измерениями) по-прежнему была бы лишь немного меньше 15%. С другой стороны, если E-настройка была бы [→], как прежде, а Р-настройка была бы

а не

то серия Е-результатов осталась бы такой же, как прежде, а новая серия Р-результатов, которую мы обозначим, например, Р', была бы в согласии лишь немногим меньше 15% с исходной серией Е-результатов. Отсюда следует, что согласие между Р'-измерением и Е' — измерением могло бы быть не выше 45% (=15% +15% +15%), если бы эти измерения производились бы, соответственно, при настройках

и [↑]. Но угол между

и [↑] равен 135°, а не 45°, поэтому вероятность согласия должна была бы быть чуть больше 85%, а не 45%. Это — противоречие, показывающее, что допущение, согласно которому выбор измерения, произведенного Е-измерителем, не может влиять на результаты Р-измерений (и наоборот) должно быть ложно! За этот пример я признателен Дэвиду Мермину. Вариант, приведенный в тексте, заимствован из его статьи (Мермин [1985]).

165

Более ранние результаты, принадлежавшие Фридману и Клаузеру [1972], основаны на идеях, высказанных Клаузером, Хорном, Шимони и Холтом [1969]. В этих экспериментах все еще имеется один спорный пункт в связи с тем, что используемые в экспериментах детекторы фотонов обладают КПД, существенно меньшим 100%, поэтому лишь сравнительно малая доля испущенных фотонов оказывается реально детектированной. Однако даже с такими детекторами согласие с квантовой теорией столь совершенно, что трудно понять, как повышение КПД детекторов способно внезапно ухудшить согласие с теорией!

166

Однако между отдельным фотоном и электромагнитным полем существует важное различие в типе допустимых решений уравнения. Классические максвелловские поля с необходимостью действительнозначные, тогда как состояния фотона комплекснозначные. К тому же фотон должен удовлетворять так называемому условию «положительной частоты».

167

Кажется, что квантовая теория поля дает некоторый простор для невычислимости. (См. Комар [1964].)

168

Некоторые «ревностные поборники» релятивизма могли бы предпочесть использовать световые конуса наблюдателей, а не их пространства одновременных событий. Однако, все сделанные нами заключения от этого не изменятся.

169

После первого просмотра напечатанного варианта мне вдруг пришло в голову, что оба человека должны были умереть задолго до этого. «Сопоставить свои наблюдения», в принципе, могли бы их отдаленные потомки (до которых вся информация о возникшем когда-то споре дошла бы, передаваясь из поколения в поколение).

170

В общем случае n, m вероятность равна

171

Используемый здесь логарифм называется натуральным, т. е. берется по основанию

е = 2,7182818285…,

а не по основанию 10, однако это различие в нашем случае совершенно несущественно. Натуральный логарифм, x =log n, числа n — это степень, в которую мы должны возвести е, чтобы получить n, т. е. решение уравнения ex = n (см. ссылку 62).