Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

142

Это наблюдение необходимо произвести так, чтобы не помешать прохождению частицы через щель t. Этого можно было бы достичь, разместив детекторы в другом месте — рядом с щелью s. Тогда можно будет делать заключение о прохождении частицы через щель t, когда эти детекторы не срабатывают!

143

Здесь возникает техническая трудность, так как настоящая вероятность найти частицу строго в данной точке была бы равна нулю. Поэтому величину

|ψ(x)|2 мы предпочитаем называть плотностью вероятности. Это означает, что на самом деле нам нужна вероятность найти частицу в некотором малом интервале фиксированных размеров. Таким образом, ψ(х) определяет плотность амплитуды, а не просто амплитуду.

144

На стандартном аналитическом языке любая из наших штопорообразных винтовых линий (т. е. любое импульсное состояние) задается формулой

ψ = eipx/h = cos(ipx/h) + isin(ipx/h),

где р — рассматривемое значение импульса z. (см. главу 3)

145

Эти две эволюционные процедуры были описаны в классическом труде выдающегося американского математика венгерского происхождения Джона (Яноша) фон Неймана [1955]. Его «процесс 1» — то, что я назвал R-процедурой — «редукцией вектора состояния», а его «процесс 2» — то, что я назвал U-процедурой — «унитарной эволюцией» (унитарность означает, что амплитуды вероятности в ходе эволюции сохраняются). На самом деле существуют и другие (хотя и эквивалентные) описания эволюции U квантового состояния, в которых не используется термин «уравнение Шредингера». Например, в «картине Гейзенберга» состояние описывается таким образом, что кажется, будто оно вообще не эволюционирует; динамическая эволюция понимается как непрерывный сдвиг смысла координат положения/импульса. Разные отличия этих картин для нас сейчас несущественны, так как описания процесса U полностью эквивалентны.

146

В более обычном квантовомеханическом описании эту сумму следовало бы разделить на нормирующий множитель, равный √2, т. е. взять сумму (ψt + ψb) ∕ √2, но усложнять таким образом описание сейчас нет необходимости.

147

Это важное понятие бесконечномерного пространства, с которым нам уже приходилось встречаться в предыдущих главах, ввел Давид Гильберт задолго до открытия квантовой механики и для совершенно других математических целей!

148

Для полноты следовало бы также привести все требуемые алгебраические правила, записанные в используемых в тексте обозначениях (Дирака),

149

Угловые скобки, использованные в книге,

, заменены на круглые

|x|, |ψ), |1), |2), |3), |n), |↑), |↓),|→),|←) — за отсутствием в «таблице символов». В элементах изображений (при ипользовании картинок), соответственно, осталось все как есть. Надеюсь, путанницы не возникнет. — Прим верст. fb2

е в150

Не исключается также и случай, когда эта комбинация представляет собой бесконечную сумму векторов. Полное определение гильбертова пространства (которое, на мой взгляд, слишком формально для того, чтобы здесь вдаваться в его подробности) включает в себя правила, позволяющие оперировать с такими бесконечными суммами.

151

Существует важная операция, называемая скалярным произведением (или внутренним произведением) двух векторов, которая может быть использована для того, чтобы очень просто выразить такие понятия, как «единичный вектор», «ортогональность» и «амплитуда вероятности». (В обычной векторной алгебре скалярное произведение равно ab cos v, где а и b — длины векторов, a v — угол между их направлениями.) Скалярное произведение векторов из гильбертова пространства дает комплексное число. Скалярное произведение двух векторов состояния |ψ) и |X) записывается в виде |ψ|X). Для него справедливы алгебраические правила

,

где черта сверху означает комплексное сопряжение. Числом, комплексно сопряженным с z = х + iy, называется

, где х и у — действительные числа; обратите внимание на то, что

.

Ортогональность векторов состояния |ψ) и |X) записывается в виде соотношения

Квадрат длины вектора состояния |ψ) есть величина

поэтому нормировки |ψ) к единичному вектору представимо в виде

Если «акт измерения» вызывает скачкообразный переход состояния |ψ) либо в состояние |X), либо во что-то, ортогональное |X), то амплитуда этого скачкообразного перехода в состояние |X) равна (X|ψ) в предположении, что |ψ) и |X) нормированы. Без нормировки вероятность скачкообразного перехода из |ψ) в |X) можно представить в виде

 (См. Дирак [1947].)

152

Для тех, кто знаком с операторным формализмом квантовой механики, это измерение (в обозначениях Дирака) определяется ограниченным эрмитовым оператором |X)(X|. Собственное значение 1 (для нормированного |X)) означает ДА, а собственное значение 0 — НЕТ. (Векторы (X|, |ψ) и т. д. принадлежат гильбертову пространству, дуальному к исходному.) См. фон Нейман [1955], Дирак [1947].

153

От английского spin — «вращение». — Прим. ред.

154

В предыдущем описании квантовой системы, состоящей из одной частицы, я прибег к сверхупрощению, проигнорировав спин и предположив, что состояние может быть описано заданием одного лишь пространственного положения. Действительно, существуют некоторые частицы, называемые скалярными, их примерами могут служить ядерные частицы, известные под названием пионов (π-мезоны, см. гл.5 «Масса, материя и реальность»), или некоторые атомы, для которых спин оказывается равным нулю. Для таких (и только для таких) частиц приведенное выше описание в терминах одного лишь пространственного положения действительно будет достаточным.

155

Здесь и выше я предпочел не загромождать формулы множителями типа 1/√2, которые нужны, если мы требуем, чтобы векторы |→) и |←) были нормированными.

156

 комплексно сопряженные чисел ω и z. (см. прим.151)

157

Существует стандартная экспериментальная установка, известная как прибор Штерна-Герлаха, которую можно использовать для измерения спинов атомов. Атомы выпускаются в пучок, который проходит в сильно неоднородном магнитном поле, направление неоднородности которого задает направление, в котором производится измерение спина. Пучок расщепляется на два (для атома со спином 1/2 или на большее число частей — для атома с бо́льшим спином), один пучок дает атомы с ответом ДА на измерение спина, а другой — атомы с ответом НЕТ на измерение спина. К сожалению, по некоторым техническим причинам, не имеющим отношения к интересующим нас вопросам, такой прибор не может быть использован для измерения спина электрона, и поэтому приходится прибегать к косвенной процедуре (см. Мотт, Мэсси [1965]). По этой и по другим причинам я предпочитаю не вдаваться в подробности относительно того, как в Действительности измеряют спин электрона.