Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

86. Считаем в уме III

В уме возвести 2 в 18-ю степень. Это:

1. 256 256.

2. 258 724.

3. 262 144.

Любой программист (а нынче и простой пользователь электронных гаджетов, который, например, изучал надписи на карте памяти и узнал, что 1 Гб – это вовсе не 1000 Мб, а 1024) знает, сколько будет 210 – чуть больше тысячи, точнее, те самые 1024. А 220 – соответственно 1024 × 1024. Но как это поможет вычислить 218? Очень просто: 218 = 220 ∕ 22 = 1024 × 1024 ∕ 2 × 2 = 512 × 512. А это уже совсем просто посчитать, вспомнив, что (a + b) × (a + b) = a² + 2ab + b² (сравните с задачей № 41). Применительно к нашему примеру (500 + 12) × (500 + 12) = 500² + 2 × 12 × 500 + 12² = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144.

87. Считаем в уме IV

Что больше – десять в пятой степени или пять в десятой?

1. 105 > 510.

2. 510 > 105.

3. Возможно, они равны?

Сколько будет 105, мы, конечно же, знаем – это единица с пятью нулями, 100 000. А 510? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 1010/210, а поскольку 210, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10³, получаем 510 ≈ 1010/103 = 107 = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m > n, всегда ли, как в этом случае, nm больше, чем mn? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2³ (8) меньше, чем 3² (9), а когда m = 4, то 24 и 42 и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2m > m².

88. Братья и сестры

У Саши сестер на двое больше, чем братьев. На сколько у Сашиных родителей больше дочерей, чем сыновей?

1. На одну.

2. На три.

3. Невозможно определить.

Предположим для простоты, что у Саши две сестры и вовсе нет братьев. Тогда дочерей у Сашиных родителей на три больше, чем сыновей, если Саша девочка, и на одну, если он мальчик. Поскольку Саша – имя универсальное, может быть как мужским, так и женским, пол Саши определить не представляется возможным, как и ответить на поставленный в задаче вопрос.

Физика

89. Льдина в бассейне

В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне?

1. Повысился.

2. Понизился.

3. Остался неизменным.

Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю – вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления.

90. Без весла

Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет?

1. Разрази его гром, прав! Поплывет носом вперед.

2. Прав, морской черт! Только поплывет он задом – кормой вперед.

3. Дурак ваш рыбак, и метод его дурацкий.

Если представить, что трения об воду нет, то рыбацкий труд, конечно, не имел бы смысла: по закону сохранения импульса лодка смещалась бы против направления движения рыбака, а за полный цикл (корма – нос – корма) смещение равнялось бы нулю. Но трение в воде есть, более того, оно квадратично зависит от скорости: чем больше скорость (лодки), тем сильнее сопротивление воды. Соответственно, когда рыбак бежит от кормы к носу, лодка смещается назад на меньшее расстояние, чем вперед – когда он неспешно прогуливается в обратном направлении.

91. Камни на пашне

Каждый год по весне на пахотных землях появляются камни, про такие говорят, что они «из земли растут». Откуда они берутся?

1. Их выталкивает сила Архимеда.

2. Камни выходят на поверхность из-за промерзания грунта при минусовых температурах.

3. Их разбрасывают по полям диверсанты-вредители.

Земля промерзает неравномерно: у камней теплопроводность (хотя в данном случае уместнее сказать «хладопроводность») выше, чем у почвы. Как следствие, лед возникает прежде всего под камнем и за счет расширения (при переходе из жидкой фазы в твердую вода расширяется) выталкивает камень вверх. Вот и весь секрет роста.

92. Синий камень

В Переславле-Залесском с незапамятных времен был Синий камень, которому поклонялись меряне и другие язычники. Монахи находящегося неподалеку Борисоглебского монастыря мечтали избавиться от соседства с камнем и зимой 1788 г. повезли его на санях по Плещееву озеру, но лед под тяжестью треснул, и камень ушел под воду на глубину около 1,5 м. А через 70 лет взял и вышел обратно на берег. Как ему это удалось?

1. Его вынесли льды.

2. Его вынесли произраставшие под ним водоросли.

3. Сам выбрался, камень-то волшебный!

Вода в водоеме, как известно, промерзает сверху. Таким образом, поверхностный лед имеет возможность захватить камень. По весне лед трескается, и льдина с вросшим в нее камнем может дрейфовать – в том направлении, куда в среднем дует ветер. В Переславле преимущественное направление ветра – от озера к монастырю, туда-то и вынесло Синий камень.

93. Масло для Нептуна

[9]

В старину в бурю моряки выливали в воду масло или жидкий жир (например, китовый). Для чего они это делали?

1. Масло на поверхности воды мешает возбуждаться волнам.

2. Глупое суеверие, моряки просто приносили жертву Нептуну.

3. Питательная пища привлекает в большом числе рыб, которые беспорядочными телодвижениями разбивают волны.

Волны в воде хорошо поднимаются, если там уже есть волны: ветер раздувает рябь, и волны растут и растут. А если ряби не будет, то расти им будет особо и не из чего. Масляная пленка как раз и подавляет появление ряби, в этом и эффект: волны на жировой пленке получаются ниже и слабее.

94. Ходить по воде

[10]

Можно ли ходить по воде и что для этого нужно сделать?

1. Да ну, это все библейские сказки.

2. Да, если перебирать ногами быстро и энергично.

3. В специальной обуви из материала малой плотности (скажем, пенопласта).

Человек будет держаться на поверхности, если сила отталкивания сравняется с его весом. Эта сила равна F = kρv²S (примем без вывода; здесь ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, v – скорость удара стопы, S = 2 дм² – площадь стопы, k ∼ 0,2 – безразмерный коэффициент сопротивления). Приравнивая ее к весу человека массой m = 60 кг, получаем v² ≥ mg/(kρS) = 150 м²/с², v ≥ 44 км/ч. Это к вопросу об «энергично», а откуда же берется условие «быстро»? Все просто: за время t наш спринтер уходит под воду на расстояние ∼vt, и пусть это будет не больше чем «по колено» (примерно полметра). Отсюда получаем, что перебирать ногами он должен со скоростью не менее 25 шагов в секунду.

95. Солнце – человек – радуга