Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

80. Сколькими способами?

Сколькими способами можно разбить число 64 на сумму 10 различных слагаемых, которые все являются натуральными числами и при этом максимальное из них равно 12? (Порядок следования слагаемых в сумме не имеет значения.)

1. Такого способа не существует.

2. Единственным способом.

3. Четырьмя способами.

Поскольку порядок слагаемых в сумме по условию не играет роли, мы можем расположить их в порядке возрастания: 64 = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j и при этом a < b < c < d < e < f < g < h < i < j = 12. Поскольку j всегда равно 12, мы можем переписать равенство в виде 52 = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Вообще, заметим, что для натуральных a, b, c… меньших 12 сумма a + b + c + d + e + f + g + h + i принимает значения от 45 (для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) до 63 (для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), так что есть основания надеяться, что для каких-то значений будет получаться и сумма 52. Действительно, это будет происходить для следующих наборов: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11} – и только в этих четырех случаях.

81. Максимальный выигрыш

Вы купили три лотерейных билета. Последовательно открываете билеты и смотрите размер выигрыша, по правилам лотереи вам вручат только тот приз, который указан на последнем открытом билете. Как обеспечить себе максимальный возможный выигрыш?

1. Открыть первый билет, если размер выигрыша вас устраивает, больше билетов не открывать.

2. Открыть первый билет, затем второй, если выигрыш на втором больше, чем на первом, останавливайтесь на этом билете, в противном случае переходите к третьему.

3. Никак, любой билет дает максимальный выигрыш с одинаковой вероятностью 1/3.

Для определенности: пусть один билет выигрывает $1, второй $2, третий $3. Мы их так и обозначим: 1, 2, 3. Последовательность вытягивания билетов может быть такой (все возможные варианты, совершенно равновероятные): 123 (А), 132 (Б), 213 (В), 231 (Г), 312 (Д), 321 (Е). Если мы будем действовать по выбранному плану, то в половине случаев (Б, В, Г) мы обеспечим себе максимальный выигрыш ($3), в двух случаях (А и Д) средний выигрыш ($2) и только в одном (Е) – минимальный ($1). 50 % на получение максимального приза – это гораздо лучше, чем средние 33 % (1/3), которые были у нас изначально. Любопытно, что в случае N билетов, где при случайном выборе билета вероятность получения максимального приза равна 1/N (если N = 100, то это всего-то 1 %), схожим образом можно обеспечить себе большую вероятность выбора билета с максимальным выигрышем: пропускаем N/e билетов (e ≈ 2,718281828… – основание натурального логарифма, см. также задачу № 85), а после выбираем билет с первой максимальной (большей всех предыдущих) суммой приза. В этом случае вероятность угадать составляет 1/e ≈ 0,37, это больше, чем один к двум, очень хорошие шансы! Подробнее – в книге Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».

82. Пельменный чемпион

В Омске проводят конкурс по поеданию пельменей – кто осилит больше. К финалу допускаются только те, кто способен съесть не менее сотни. В финал вышли четверо: Александр, Борис, Владимир и Геннадий. Известно, что победил Александр, Борис с Владимиром на пару съели 599 пельменей, а всего в финале их уничтожили ровно 1000 штук.

Сколько же съел победитель?

1. 300 пельменей.

2. 301 пельмень.

3. 302 пельменя.

Для краткости обозначим съеденное каждым «спортсменом» по первым буквам их имен: А, Б, В и Г. Мы знаем, что А + Б + В + Г = 1000, Б + В = 599 (и, значит, А + Г = 401) и что А, Б, В, Г ≥ 100. Отсюда следует, что А ≤ 301, но тогда Александр может быть победителем только при условии, что Борис съел 300, а Владимир 299 (или наоборот, что нам совершенно неважно – мы не интересуемся занявшими второе и третье места; важно, что если кто-то из них слопал 301 или больше, то Александр уже никак не может победить), Геннадий съел ровно 100, а Александр 301 пельмень. Это и есть ответ.

83. Землекопы

Три землекопа могут вскопать 1 га за 2 ч. За какое время им удастся вскопать 3 га, если прикомандировать к ним еще двух столь же работоспособных землекопов?

1. За те же 2 ч.

2. За 2 ч 40 м.

3. За 3 ч 36 м.

Если действовать по всем правилам, то сначала нужно посчитать производительность одного землекопа – это 1/3 га за 2 ч, т. е. 1/6 га/ч. Теперь, чтобы найти время обработки 3 га пятью землекопами, нужно взять 3 га, разделить на производительность одного землекопа и на число землекопов, получим 18/5 = 3,6 ч, или 3 ч 36 м. Но можно и грубо прикинуть, без детальных расчетов: объем работ вырос втрое, а производительность бригады в 5/3 ≈ 1,7 раза. Вспоминая, что 1,7 – это примерное значение √3, сразу получаем, что время работы должно увеличиться где-то в те же 1,7 раза. Из предложенных вариантов ответа только третий близок к этому значению, его и берем.

84. Считаем в уме I

Чему равняется произведение 748 × 1503?

1. 1 096 124.

2. 1 124 244.

3. 1 244 124.

Казалось бы, что может быть интересного в перемножении двух чисел? Берешь калькулятор и считаешь. Но с калькулятором и правда ничего интересного – иное дело попробовать посчитать в уме. Со всеми такими задачами главное – считать не в лоб, а попытаться увидеть, как можно облегчить себе работу. В конкретном нашем примере запишем 748 как (1500 – 4)/2, а 1503 как (1500 + 4) – 1, тогда получим: 748 × 1503 = (1500 – 4) (1500 + 4)/2 – 748. Вспоминая, что (a – b) × (a + b) = a² – b², получаем: 748 × 1503 = 1500²/2 – 4²/2 – 748 = 2 250 000/2 – 756 = 1 125 000–756 = 1 124 244. Возможность посчитать в уме (хотя бы приближенно, не всегда нужна совершенная точность) – очень важный навык. Знаменитый физик Ричард Фейнман посвятил этому целую главу в своей книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»[8], там он вычисляет в уме не только произведения, но и логарифмы, и кубические корни.

85. Считаем в уме II

С точностью до третьей значащей цифры посчитайте в уме корень 100-й степени из числа e (e = 2,718281828… – основание натурального логарифма). Это будет:

1. 1,01.

2. 1,04.

3. 1,11.

Чтобы решить эту задачку, нужно помнить две вещи. Первое: извлечь корень n-й степени – то же самое, что возвести в степень 1/n, √n(a) = a1/n, в нашем случае нужно отыскать значение e в степени 1/100 = 0,01. Второе: при малых значениях аргумента функция ex (экспоненциальная функция, фундаментальная в математике – встречается без малого везде) может быть приближенно записана совсем просто: ex ≈ 1 + x. Значит, искомое значение составит 1 + 0,01 = 1,01. Сравним с более точным (до 10-го знака) значением – это 1,010050167, великолепное совпадение! Приближенные методы, вообще, бывают довольно точны (главное контролировать эту точность). Скажем, корень десятой степени из e равен 1,105170918, а вычисленный по нашей приближенной формуле – 1,1, разница в полпроцента. Правда, если мы посчитаем e1 (равно e, если считать точно, и 2 по нашей формуле), то разница будет уже ощутимой, что объяснимо: для таких больших значений x наше приближение уже плохо работает, увы. Но его можно продолжать уточнять, почитайте, если интересно, про разложение экспоненты в ряд Тейлора, вы узнаете, что при любом (sic!) значении x, даже при миллионе или миллиарде, можно приближенно записать эту функцию полиномом (степенной функцией) с желаемой точностью!

86. Считаем в уме III

В уме возвести 2 в 18-ю степень. Это:

1. 256 256.

2. 258 724.

3. 262 144.

Любой программист (а нынче и простой пользователь электронных гаджетов, который, например, изучал надписи на карте памяти и узнал, что 1 Гб – это вовсе не 1000 Мб, а 1024) знает, сколько будет 210 – чуть больше тысячи, точнее, те самые 1024. А 220 – соответственно 1024 × 1024. Но как это поможет вычислить 218? Очень просто: 218 = 220 ∕ 22 = 1024 × 1024 ∕ 2 × 2 = 512 × 512. А это уже совсем просто посчитать, вспомнив, что (a + b) × (a + b) = a² + 2ab + b² (сравните с задачей № 41). Применительно к нашему примеру (500 + 12) × (500 + 12) = 500² + 2 × 12 × 500 + 12² = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144.