Роберт К. Мертон - Финансы
Резюме
• Опционы могут использоваться инвесторами для варьирования инвестиционных рисков. Комбинируя безрисковые ценные бумаги с опционами "колл" на акции и индексы, инвестор может выходить на гарантированный минимальный уровень доходности.
• Портфель ценных бумаг, состоящий из акций и европейских опционов "пут, эквивалентен комбинации из безрисковой облигации с номинальной стоимостью, равной цене исполнения опциона и европейского опциона "колл". Таким образом, в соответствии с законом единой цены, приходим к уравнению паритета опционов "пут" и "колл":
(15.1)
где S — курс акций, Р — цена опциона "пут", г - безрисковая процентная ставка, Т — промежуток времени до срока истечения опциона, а С — цена опциона "колл".
• На основе акций, лежащих в основе опциона, и безрисковых ценных бума можно сконструировать синтетический опцион. Для этого необходимо восполь зоваться стратегией динамического дублирования, обеспечивающей самофинансирование инвестиций после первоначального вложения. В соответствии с 1Л законом единой цены цена опциона определяется формулой
(15.5)
где
С— цена опциона "колл"
S — текущий курс подлежащих акций
Е — цена исполнения опциона
г — безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка (в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона)
Т— промежуток времени до срока истечения опциона в годах
а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в пересчете на год)
In — натуральный логарифм е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)
N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше d
Методику, аналогичную методике оценки стоимости опционов, можно применить и в других случаях. Во-первых, для оценки стоимости условных требований, связанных с поступлением доходов от акций и облигаций. Во-вторых, для оценки кредитных гарантий. В третьих, для оценки стоимости реальных опционов, содержащихся в инвестиционных решениях в связи с проведением научно-исследовательских работ и выбором направлений развития технологий производства.
Основные термины
• условное требование (contingent claim), 469
• опцион "колл" (call), 470
• опцион "пут" (put), 470
• цена "страйк" (strike price), 470
• цена исполнения (exercise price), 470
• дата истечения (expiration date), 470
• американский опцион (American-type option), 470
• европейский опцион (European-type option), 470
• биржевые опционы (exchange-traded option), 471
• внебиржевые опционы (over-the-counter option), 471
• внутренняя стоимость (intrinsic value), 472
• реальная стоимость (tangible value), 472
• опцион с проигрышем (out of the money), 472
• опцион с выигрышем (in the money),472
• опцион без выигрыша (at the money), 472
• временная стоимость, срочная премия (time value), 472
• опцион на индекс (index option),472
• взаиморасчет в денежной форме (cash settlement), 473
• доходная диаграмма (payoff diagram), 474
• уравнение паритета опционов "пут" и "колл" (put-call parity relation), 479
• коэффициент хеджирования (hedge ratio), 483
• стратегия инвестиционного самофинансирования (self-financing investment), 485
• дерево решений (decision tree), 485
• биномиальная модель оценки стоимости опционов (binomial option-pricing model), 485
• модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes model), 486
• подразумеваемая изменчивость (implied volatility), 489
Ответы на контрольные вопросы
Контрольный вопрос 15.1. Используя таблицу 15.1, рассчитайте внутреннюю и временную стоимость для июньских опционов "колл " на акции компании IBM с ценой исполнения 125 долл. Найдите соответствующие величины для опционов "пут ".
ОТВЕТ. Поскольку июньский опцион "колл" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. является в данный момент опционом с проигрышем, его внутренняя стоимость равна нулю, а временная стоимость равна его цене (1 1/2 долл.). Июньский опцион "п;т" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. имеет внутреннюю стоимость 4 15/16 долл. (= 125 - 120 1/16).
Контрольный вопрос 15.2. Представьте себе, что 5 июня 1998 года вы купили по цене, указанной в табл. 15.2, июньский опцион "колл" на SPX с ценой исполнения 1120. Чему будет равна ваша ставка доходности, если величина индекса на дату истечения, 19 июня 1998 года, окажется равной 1200?
ОТВЕТ.
Контрольный вопрос 15.3. Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000 долл. в безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?
ОТВЕТ. При вложении 4000 долл. в опционы "колл" сроком на один год по иене 10 долл. можно купить 400 опционов. Получаемый денежный платеж по опционам будет равен 400х max (St-100, 0). Если опцион истекает без использования, вы получите 100800 долл. от своих вложений в безрисковые ценные бумаги. Это соответствует ставке доходности в 0,8% годовых для вложенных 100000 долл. Наклон идущей вверх части графика на доходной диаграмме равен 0,004. Выражение для обшей доходности вашего портфеля ценных бумаг имеет вид
Стоимость на конец года - Стоимость на
начало года
Доходность портфеля
Стоимость на начало года
4% инвестиций в опционы "колл"
Курс акций на дату истечения
Доходная диаграмма для различных инвестиционных стратегий на фондовом рынке
Контрольный вопрос 15.4. Покажите, как можно создать синтетическую акцию с помощью опциона "пут", опциона "колл" и бескупонной облигации номинальной стоимостью Е.
ОТВЕТ. Переписав уравнение 15.1 так, чтобы текущая цена акции стояла в левой части, получаем:
Это означает, что синтетическую акцию можно создать, приобретя беспроцентную облигацию номинальной стоимостью Е, купив опцион "колл" и продав опцион "пут" на подлежащие акции.
г
Структура платежей для синтетической акции: бескупонная облигация плюс опцион "колл" минус опцион "пут"
инвестиционная позиция
Стоимость на момент истечения
При ST Е
При ST Е
Беспроцентная облигация номинальной стоимостью Е
Е
Е
Покупка опциона "колл"
0
ST-E
Продажа опциона "пут".
ST-E
0
Облигация плюс опцион "колл" минус опцион "пут"
ST
ST
Контрольный вопрос 15.5. Предположим что при данном уровне изменчивости курса акций S = 100 долл., Е = 100 долл., Т = 1 год, г = 0,08 и Р = Ю долл. Далее предположим, то изменчивость курса растет и цена опциона "колл " достигает 20 долл. Какой должна быть новая цена опциона "пут", если S, Е, Т, и г не меняются?
ОТВЕТ. Стоимость опциона "пут" должна возрасти на такую же величину, как и стоимость опциона "колл", в данном случае это составляет 2,59 долл. Таким образом стоимость опциона "пут" составит 12,59 долл.
Контрольный вопрос 15.6. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, выше, чем в рассмотренном выше примере. Курс акций может в течение года повыситься или упасть на 30%. Примените двухступенчатую модель для определения цены опциона.
ОТВЕТ.
Разность цен акций
_ 30 долл. - 0 _ „ -130 долл. - 70 долл.
Сумма, которая берется взаймы, представляет собой максимальную сумму, которая может быть гарантированно выплачена с процентами на момент наступления срока истечения опциона. Поскольку в данном примере худший возможный результат соответствует стоимости половины пакета акций, т.е. 35 долл., то ее необходимо дисконтировать по безрисковой процентной ставке 5%. В результате получаем 33,33 долл.
Цена опциона "колл" равна затратам на формирование дублирующего портфеля, которые определяются как произведение коэффициента хеджирования на текущую цену акций за вычетом взятой в долг суммы. В соответствии с законом единой цены это и есть цена опциона "колл":
С =0,5-33,33 долл. = 50 долл. - 33,33 долл. =16,67 долл.
Контрольный вопрос 15.7. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0,2, как в рассмотренном выше примере, а 0,3. Чему равна приблизительная цена опциона "колл "?
ОТВЕТ: С-0,4 х 0,3 х 100 долл. = 12 долл.
Контрольный вопрос 15.8. Какой была бы доходность при погашении облигаций Debtco в рассмотренном выше частном случае?
ОТВЕТ. Приняв в качестве приближенной оценки акционерного капитала 12 млн долл., получаем
