Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин

Судя по многочисленным вариантам методов определения СКО доходности и отсутствию оценок достоверности таких расчётов, невозможно отдать предпочтение ни одному из них.

По вполне понятным причинам из — за отсутствия надёжного метода расчёта СКО доходности ни владелец, ни потенциальный покупатель не способны однозначно оценить по формуле Блэка — Шоулза истинную стоимость европейского опциона, что и предопределяет несоответствие рыночной цены с расчётной стоимостью опциона.

Согласно формуле Блэка — Шоулза стоимость европейских опционов является функцией случайной стоимости базисного актива, при этом для опциона «колл» зависимость является монотонно возрастающей, а для опциона «пут» зависимость — монотонно убывающей (см. рис. 10.5). Такой характер зависимостей воспринимается аналитиками настолько естественным и неоспоримым, что, как следует из содержания многочисленных литературных источников, не вызывает сомнений и не требует каких — либо объяснений.

Предположим, что на день первичной продажи европейского опциона «колл» его продажа осуществлена по цене, которая согласно формуле Блэка — Шоулза соответствует цене базисного актива. В течение срока действия опциона его владелец может продать контракт с целью получения капитального дохода или же дождаться окончания срока действия опциона, надеясь на удачное исполнение опциона. Целесообразность принятия того или иного решения должна оцениваться владельцем опциона каждый торговый день.

Если в дальнейшем текущая дисконтированная цена базисного актива снизится по отношению к цене, то и снизится текущая дисконтированная цена опциона «колл» по отношению к цене. Поскольку владелец должен принять решение о явной нецелесообразности продажи опциона и продолжить ожидания благоприятной возможности по продаже или исполнению опциона. Следовательно, при продажа европейского опциона «колл» убыточна и поэтому иррациональна, хотя и теоретически возможна. Данное ограничение в формуле Блэка — Шоулза не принимается во внимание.

Если текущая дисконтированная цена базисного актива увеличится по отношению к цене, то и увеличится текущая дисконтированная цена опциона «колл» по отношению к цене. При недостаточном приросте цены опциона (по мнению владельца) продажа опциона должна быть отложена до лучших времён. В формуле Блэка — Шоулза данный фактор также игнорируется.

Владелец явно будет заинтересован в продаже опциона при таком приросте цены, когда за оставшийся срок действия опциона более выгодная его продажа или удачное исполнение маловероятны. Но такие перспективы вряд ли могут заинтересовать потенциального покупателя опциона, что в формуле Блэка — Шоулза также не учитывается.

И только при определённом значении цены базисного актива и соответствующей справедливой цене опциона, когда для владельца выгодна продажа, а для потенциального покупателя — приобретение опциона, возникают условия для взаимовыгодной сделки. Принимая во внимание случайный характер ценообразования базисного актива, приходим к выводу о том, что при продажа европейского опциона «колл» хотя и возможна, но маловероятна.

В итоге ни при, ни при торговля европейскими опционами «колл» практически невозможна. То есть при стоимости опциона, рассчитываемой по формуле Блэка — Шоулза, европейский опцион «колл» не может быть объектом купли/продажи (аналогичные рассуждения уместны и для европейского опциона «пут»).

Исходя из приведенных выше доводов, можно утверждать, что модель оценки европейских опционов Блэка — Шоулза не отражает сущность рыночного механизма купли/продажи вторичных ценных бумаг. Именно данное обстоятельство и является основной причиной необходимости критического отношения к данной модели оценки европейских опционов «колл» и «пут».

10.4. Стохастическая модель европейских опционов

Для разработки стохастических моделей европейских и американских опционов воспользуемся совокупностью допущений, которые частично совпадают или подобны допущениям модели оценки европейских опционов Блэка — Шоулза:

по базисному активу, в частности акции, в течение всего срока действия опциона дивиденды не выплачиваются;

отсутствуют транзакционные затраты, связанные с покупкой или продажей базисного актива и опциона;

продавец опциона предпочтёт инвестировать полученную премию в безрисковый или другой актив.

продажа ценных бумаг разрешается без ограничений, и при этом продавец получает немедленно всю наличную сумму за проданную ценную бумагу по текущей цене;

стоимость базисного актива является случайной величиной с усечённой нормальной плотностью распределения и точками усечения и, симметричными относительно математического ожидания стоимости базисного актива (центра рассеивания) (см. п. 7.2);

процесс случайных колебаний стоимости базисного актива (см. п. 1.1) является стационарным, т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение стоимости базисного актива неизменны во времени.

На рис. 10.6 представлены графики усечённой нормальной плотности распределения стоимости базисного актива, на оси абсцисс которой показано положение цены исполнения опциона.

а)

б)

Рис. 10.6. Усечённая нормальная плотность распределения стоимости базисного актива, разделённая ценой исполнения на две области и применительно к опционам «колл» (а) и «пут» (б)

Цена исполнения делит совокупность допустимых значений стоимости базисного актива на две области и. В области стоимость актива находится в пределах (рис. 10.6а) при этом внутренняя стоимость опциона «колл» положительна, а в области — равна нулю. В области стоимость актива находится в пределах (рис. 10.6б) при этом внутренняя стоимость опциона «пут» положительна, а в области — равна нулю.

Для разработки стохастической модели европейских опционов воспользуемся подходом, предложенным в п. 7.2.

Вероятности попадания стоимости базисного актива в области А и В в день исполнения европейского опциона.

Вероятность попадания стоимости базисного актива в область в день исполнения европейского опциона.

где — аргумент интеграла вероятностей.

Вероятность попадания стоимости базисного актива в область в день исполнения европейского опциона.

Очевидно, что для опционов «колл» и «пут» на один и тот же базисный актив с едиными ценой исполнения и датой исполнения. Следует отметить, что в действительности цена исполнения опционов «колл» и «пут» на один и тот же базисный актив, как правило, неодинакова.

Фактически вероятности и являются вероятностями успешного исполнения европейских опционов «колл» и «пут» соответственно.

Плотности распределения стоимости базисного актива в областях А и В в день исполнения европейского опциона.

Плотность распределения стоимости базисного актива в области

где

Плотность распределения стоимости базисного актива в области

где

Математическое ожидание стоимости базисного актива в областях А и В.

Математическое ожидание стоимости базисного актива в области

Математическое ожидание стоимости базисного актива в области

Анализ приведенных соотношений показывает, что всегда выполняются неравенства и.

Математические ожиданиядоходов и потерь, генерируемые опционами «колл» и «пут».

При анализе денежных потоков, генерируемых опционами, необходимо принять во внимание, что доходы от операций с опционами должен получать как продавец, так и покупатель опционного контракта. В противном случае торговля