Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин

для опциона «колл»:

для опциона «пут»:

Сравнение неравенств (10.12) и (10.27), (10.13) и (10.28) показывает, что, если стоимость американского опциона соответствует формуле Блэка — Шоулза, то условия (10.27) и (10.28) принципиально не выполнимы и досрочное исполнение американских опционов исключается. Поэтому инвесторы, использующие на практике формулу Блэка — Шоулза для расчёта стоимости американского опциона, фактически лишаются возможности досрочного исполнения опциона.

Кроме того сопоставление условий (10.25) и (10.27), (10.26) и (10.28) указывает на безальтернативность операций с опционами — в зависимости от значения стоимости базисного актива возможна либо продажа, либо досрочное исполнение опциона. Поэтому положение о том, что «американские» опционы «колл» до даты исполнения целесообразно продавать, но не исполнять по причине потери временной стоимости» [1] (см. п. 10.1), принципиально невыполнимо.

По аналогии с особенностями продажи американских опционов, выполнение условий (10.27) и (10.28) не означает целесообразность досрочного исполнения американских опционов, а свидетельствует лишь о такой возможности. Действительно, если условия (10.27) и (10.28) выполняются, но получаемый доход от досрочного исполнения опциона на текущую дату ниже, чем математическое ожидание дохода от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия или ниже математического ожидания дохода, который генерируется по окончании срока действия опциона, то досрочное исполнение опциона на текущую дату не оправдано. Таким образом, досрочное исполнение опциона оправдано, если выполняются условия

применительно к опциону «колл»:

применительно к опциону «пут»:

Преобразуем условия досрочного исполнения опционов (10.29) — (10.32) к виду:

применительно к опциону «колл»

применительно к опциону «пут»

Как и следовало ожидать, сопоставление неравенств (10.33) — (10.34) с (10.27) и (10.35) — (10.36) с (10.28) показывает, что условия досрочного исполнения опционов являются более жёсткими по сравнению с условиями, когда досрочное исполнение опционов возможно.

Анализ особенностей продажи и досрочного исполнения американских опционов показывает, что в основу стохастической модели должно быть положено определение математических ожиданий доходов и, а также осуществлена оценка опционов (см. следующий параграф 10.6).

Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) при завершении одного торгового дня. В соответствии с соотношениями (10.33) и (10.35) досрочное исполнение опциона может быть оправданным, если случайная стоимость базисного актива превысит пороговое значение (для опциона «колл») или станет ниже порогового значения (для опциона «пут»). Тогда искомые вероятности можно определить как

где.

Вероятности выполнения условий (10.33) и (10.35) хотя бы один раз за оставшиеся торговых дня до даты окончания срока действия опциона (см. п. 10.3). Искомые вероятности можно трактовать как вероятности досрочного исполнения опционов «колл» и «пут», которые определяются соответственно как

Математические ожидания стоимостей базисного актива в областях и соответственно

Математические ожидания доходов от реализации досрочного исполнения в течение оставшегося срока действия опционов «колл» и «пут» соответственно

Математические ожидания доходов и потерь, генерируемые опционами «колл» и «пут». Исполнение американских опционов по окончании срока их действия возможно, если досрочное исполнение не реализовано. Поэтому, если вероятности досрочного исполнения опционов равны (для опциона «колл») и (для опциона «пут»), то вероятности исполнения опционов по окончании срока их действия будут равны (для опциона «колл») и (для опциона «пут»).

Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), генерируемые опционом «колл»

Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «колл» —.

Математическое ожидание дохода (для покупателя) или математическое ожидание потерь (для продавца), генерируемые опционом «пут»

Доход (для продавца) или потери (для покупателя), равные полученной/уплаченной премии, применительно к опциону «пут» —.

Для расчёта доходов от инвестирования премии можно воспользоваться формулами (10.16) и (10.17).

Математические ожидания доходностей американских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени Т между покупкой опционов и моментом их исполнения.

Математическое ожидание доходности американского опциона «колл» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения

для покупателя (математическое ожидание дохода —, потери —, математическое ожидание прибыли —):

для продавца (доход —, математическое ожидание потерь —, математическое ожидание прибыли —):

Математическое ожидание доходности американского опциона «пут» за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения

для покупателя (математическое ожидание дохода —, потери —, математическое ожидание прибыли —):

для продавца (доход —, математическое ожидание потерь —, математическое ожидание прибыли —):

Для расчёта математических ожиданий годовых доходностей американских опционов можно воспользоваться формулой (10.24). Математическое ожидание капитальной доходности американских опционов может быть рассчитано с использованием формул (10.22) и (10.23).

В последующих материалах предложенная модель используется для оценки американских опционов.

10.6. Оценка европейских и американских опционов в рамках доходного подхода

При определении стоимости опционов следует ориентироваться на общие принципы оценки ценных бумаг, которые рассмотрены в п. 5.1.

В соответствии с принципом ожидания рыночная стоимость любого актива, в том числе и опциона, определяется его способностью в будущем приносить инвестору доход. Поэтому для оценки опционов наиболее подходящим является доходный подход, который учитывает связь стоимости опциона с возможными будущими доходами (см. п. 5.2).

Согласно с принципом замещения единообразное представление владельца и потенциального покупателя о справедливой стоимости опциона может быть сформировано только с учётом рыночного механизма ценообразования опционов, т. е. при условии реализации взаимной выгоды покупателя и продавца от покупки/продажи опциона. Данное условие достигается при равновесии математических ожиданий доходностей опционов покупателя и продавца, т. е. при выполнении равенств

При нарушении этих равенств в более выгодных условиях будет находиться одна из сторон сделки, для которой создаются благоприятные возможности по извлечению дохода за счёт другой стороны. Следует учитывать, что положительная доходность покупателя и формируется за счёт отрицательной доходности продавца и и на рынке будет наблюдаться спрос на опционы при отсутствии предложения. И наоборот, положительная доходность продавца и формируется за счёт отрицательной доходности покупателя и, что обусловит отсутствие спроса на опционы при наличии предложения.

Следовательно, исходя из логики рыночного механизма ценообразования опционов «колл» и «пут» их справедливая стоимость должна определяться соответственно равенствами (10.41) и (10.42), при этом равновесие математических ожиданий доходностей опционов покупателя и продавца достигается, если

Оценка европейских опционов.

Используя соотношения (10.14) — (10.21), (10.41) и (10.42) получаем уравнения для определения стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно

Решая данные уравнения, находим формулы для расчёта стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соответственно

Анализ соотношений (10.43) и (10.44) показывает, что, во — первых, стоимости опционов равны дисконтированному среднему доходу, генерируемую опционом, при этом непрерывно