Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы - Владимир Костин
Практика использования второй формулы, на основе которой рассчитывают производный показатель — бета — коэффициент (см. п. 2.5), показала [5, с. 466]: «…теория не даёт никаких рекомендаций относительно того, как выбрать период, данные за который будут использоваться для регрессионного анализа. Доходность акций компании, а также доходность рыночного портфеля (индекса) можно вычислять, используя ежедневные, еженедельные или ежемесячные данные за один год, пять, десять и пятьдесят лет, и получающиеся в результате этих измерений бета — коэффициенты окажутся различными».
Неоднозначность оценки годового относительного изменения уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов), рассчитанного по второй формуле, обусловлена, во — первых, случайным характером слагаемых. Во — вторых, совокупность этих слагаемых также зависит от интуиции аналитика к методике подбора ряда исторических значений. Поэтому и суммарная величина также случайна, неоднозначна и вряд ли может быть использована в качестве эталона.
Очевидно, что показатель, на основе которого осуществляется сравнение тестируемого актива или портфеля активов с фондовым индексом, должен обладать свойством устойчивости, т. е. влияние случайных факторов на значения такого показателя должно быть сведено к минимуму. Кроме того, такой показатель не должен зависеть от предпочтений аналитика. Показатель годового относительного изменения уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов), вычисленный рассмотренным способом, такими свойствами не обладает.
Следует отметить, что в обеих формулах величина зависит от отношения двух нормально распределённых случайных величин. В частном случае плотность распределения отношения двух случайных величин со стандартными нормальными распределениями соответствует распределению Коши. Причём сумма независимых случайных величин, распределённых по закону Коши, также распределена по закону Коши. Известно, что данное распределение не имеет ни математического ожидания, ни дисперсии случайной величины.
В общем же случае определение статистических параметров отношения двух нормально распределённых случайных величин сопряжено с математическими проблемами, без решения которых использование величины в качестве показателя качества финансовых активов не представляется возможным.
Таким образом, при оценке эффективности управления портфелями активов текущие и годовые доходности фондовых индексов, которые определяются рассмотренными выше способами, не могут использоваться в качестве эталонов капитальной доходности.
2.5. Рыночная модель оценки финансовых активов
Основополагающим допущением в рыночной модели оценки финансовых активов является то, что текущие капитальные доходности актива (портфеля активов) и фондового индекса образуют систему двух случайных величин с двумерным нормальным законом распределения. Свойства такого распределения подробно рассматриваются в [2].
Поскольку в рыночной модели текущие капитальные доходности определяются по формуле (2.2), то в дальнейшем под этими терминами следует подразумевать относительное изменение уровня фондового индекса (стоимости актива или портфеля активов).
На интуитивном уровне, очевидно, что при росте уровня фондового индекса, вероятно, будет расти и курс актива, а с падением фондового индекса, вероятно, будет падать и курс актива. Такой характер зависимости прослеживается при анализе исторических данных по курсам активов [1, 5, 6].
Отражение взаимосвязи текущих капитальных доходностей актива и фондового индекса в портфельной теории носит название рыночной модели (market model) [1]. В соответствии с нормальным законом распределения системы двух случайных величин получаем линейную зависимость между текущими доходностями актива и фондового индекса [1, 2]
где и — текущая и МО капитальной доходности актива соответственно; и — текущая и МО капитальной доходности фондового индекса соответственно; и — СКО капитальных доходностей актива и фондового индекса соответственно; — коэффициент корреляции капитальных доходностей актива и фондового индекса.
Данную зависимость называют линией регрессии [1, 2], которую можно представить в виде
где — свободный член линии регрессии; — тангенс угла наклона линии регрессии или бета — коэффициент.
Бета — коэффициент определяет чувствительность текущей капитальной доходности актива по отношению к текущим изменениям капитальной доходности фондового индекса.
Текущая капитальная доходность портфеля активов определяется из следующей формулы
где — доля ценной бумаги i—го вида в стоимости портфеля.
Следовательно, свободный член линии регрессии и бета — коэффициент портфеля активов соответственно определяются как и.
В [1] формула (2.3) изменена и представлена в виде
где — случайная погрешность.
Введение случайной погрешности в соотношение (2.4) позволило предположить, что при известной текущей капитальной доходности фондового индекса действительная текущая капитальная доходность актива обычно лежит вне прямой, задаваемой соотношением (2.3). Корректность такого представления соотношения (2.3) в виде (2.4) в [1] не доказывается и не обсуждается.
Искусственное, ничем не аргументированное введение дополнительного слагаемого в уравнение линии регрессии позволило объявить (но не обосновать) формулу для дисперсии доходности актива в виде суммы дисперсий, характеризующих собственный и рыночный риски активов. Однако, как показано в [5, 6] (см. также п. 1.8) природа рыночного риска (а точнее — природа неустойчивости доходности) объясняется положительной корреляцией доходностей активов, входящих в базу расчёта фондового индекса.
Расчёт параметров и актива осуществляют по историческим данным. На рис. 2.1 в качестве примера представлена зависимость текущей капитальной доходности конкретного актива от текущей капитальной доходности фондового индекса за прошедшие периоды времени.
Рис. 2.1. Определение параметров и по историческим данным
Применительно к рис. 2.1 (,) уравнение для линии регрессии имеет вид
Уравнение линии регрессии позволяет предсказать текущую капитальную доходность актива при колебаниях текущей капитальной доходности фондового индекса. Например, если в настоящий момент времени текущая капитальная доходность фондового индекса составляет, то текущая капитальная доходность актива должна составлять (см. формулу (2.5) или рис. 2.1).
Судя по названию, рыночная модель оценки финансовых активов может быть использована для сопоставления активов — типовой задачи инвестора.
Фондовый индекс при решении данной задачи выступает в роли эталона. Для демонстрации возможностей рыночной модели по сопоставлению активов рассмотрим следующий пример. Предположим, инвестор должен сопоставить два актива (,) и (,), а затем выбрать наиболее привлекательный из них. Согласно идеологии портфельной теории при равных значениях СКО доходностей для инвестора объективно портфель является наиболее привлекательным, как более доходный.
Предположим также, что в данный момент времени фондовый индекс (эталон) имеет следующие параметры:, а коэффициенты корреляции активов и с фондовым индексом соответственно равны и. С использованием соотношения (2.3) получаем:
бета — коэффициенты активов и равны и соответственно;
текущие доходности активов и равны и соответственно.
На основании проведенных расчётов инвестор устанавливает, что актив имеет более высокое значение
