Александр Казанцев - Том (7). Острие шпаги

37

Задача эта сводится к выражению xn + yn = zn. (Примеч. авт.)

38

Великая теорема Ферма. (Примеч. авт.)

39

В 45-м замечании к книге Диофанта Ферма даст развернутое доказательство нерешаемости для четвертой степени уравнения: x4 + y4 = z4 в целых числах, к чему мы еще вернемся. Еще раньше, в 33-м замечании, говоря о Диофанте, Ферма написал: «Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых равна квадрату? Конечно, потому, что эта задача невозможна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства». (Примеч. авт.)

40

Примечание автора для особо интересующихся.

Графическое решение «бинома Ньютона в третьей степени» представлено на рисунке, выполненном заслуженным деятелем науки и техники РСФСР доктором технических наук профессором М. М. Протодьяконовым. Куб у него складывается из кубов, среднего со стороной y и малого со стороной x, расположенных по диагонали большого куба, со стороной x + y, трех пластин объемом x2y и трех брусков объемом x2y, точно заполняющих оставшиеся в большом кубе места от двух первых кубов. Объемы всех этих фигур соответствуют: (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3.

41

Примечание автора для особо интересующихся. «Метод спуска» Ферма изложен в его 45-м примечании к «Арифметике» Диофанта и в его письме к Каркави, где для доказательства того, что площадь прямоугольного треугольника не может быть равна квадрату целого числа, говорилось: «Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключаю, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».

Этим методом доказаны частные случаи для степеней = 3 и 4.

42

Примечание автора для особо интересующихся. «Метод подъема» гипотетически мог бы быть изложен так:

Если прямоугольный треугольник можно построить только на плоскости, имеющей два измерения, и свойством такого «плоского места» будет пифагоров закон о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то нет оснований полагать, что подобные «законы» отражают свойства «пространственных» и «субпространственных мест» с тремя и более измерениями, что при переходе (подъеме) от плоскости к объему (кубу, параллелепипеду или другой пространственной фигуре) диагональ, скажем куба, возведенная в третью степень, будет равна сумме других отрезков, укладывающихся в эту фигуру (сторон куба) в третьей степени. И еще меньше оснований полагать, что при переходе к «невообразимым фигурам» четырех и больше измерений можно найти целочисленное решение для четвертой степени одного отрезка, равного сумме двух других отрезков в четвертых степенях каждый. Для необоснованности подобных предположений достаточно доказать, что целочисленных решений нет, скажем, для биквадратов, что и будет общим доказательством отсутствия целочисленных решений для «пространственных» и «субпространственных» фигур вообще.

Нерешаемость в целых числах уравнения с разложением числа в четвертой степени на два слагаемых в той же степени безупречно доказана Пьером Ферма с помощью его «метода спуска», а для третьей степени спустя столетие Эйлером. В наше время с помощью электронно-вычислительных машин доказана подобная нерешаемость для всех чисел до многих миллионов с показателями от 3 до 100 000, что, по мнению Ферма, доказывать уже не требовалось, поскольку для четвертой степени это доказано и для третьей степени тоже удалось доказать, подтвердив тем, что «вероятностные кривые Ферма» расходятся.

43

Математики, предполагающие, что Ферма ошибся в своем доказательстве Великой теоремы и она простыми средствами якобы недоказуема, могут отыскать «ошибку» и в приведенном здесь «гипотетическом» «методе подъема», учтя, однако, при этом как его «литературную условность», так и математическое значение упомянутых «вероятностных кривых», которые, очевидно, должны отражать поддающуюся экстраполяции закономерность. И не забыть при этом корректность практической проверки доказательства. (Прим. авт.)

44

Написан в содружестве с Марианом Сияниным.

45

Герловин И. Л. Некоторые вопросы систематизации элементарных частиц. – Труды Глав. астр, обсерватории АН СССР. Л., 1966.

46

Протодьяконов М. М. и Герловин И. Л. Электронное строение и физические свойства кристаллов. М., «Наука», 1975.